Fungsi Komposisi: Mencari Domain Yang Benar

Halo, para penggila matematika! Hari ini kita akan menyelami dunia fungsi, khususnya fungsi komposisi dan bagaimana cara menentukan domainnya. Kita akan menggunakan contoh soal yang keren ini untuk membedah konsepnya sampai tuntas. Siap? Ayo kita mulai!

Memahami Konsep Domain Fungsi

Sebelum kita beranjak lebih jauh ke fungsi komposisi, penting banget buat kita paham dulu apa itu domain fungsi. Anggap aja domain itu adalah 'lapangan bermain' buat sebuah fungsi. Jadi, domain adalah himpunan semua nilai input (biasanya 'x') yang bikin fungsi itu 'ngerti' dan bisa ngasih output yang valid. Kalau kita coba kasih input di luar domain, si fungsi bakal bingung dan nggak bisa ngasih jawaban yang bener, guys.

Nah, ada beberapa 'aturan main' nih buat nentuin domain. Pertama, kalau ada pecahan, kita harus hati-hati. Penyebutnya nggak boleh nol, dong! Soalnya, kalau penyebutnya nol, wah, itu udah kayak ngasih tahu kalkulator buat ngaco. Jadi, kita harus cari nilai 'x' yang bikin penyebutnya jadi nol, terus kita singkirin dari kemungkinan input kita.

Kedua, kalau ada akar kuadrat (atau akar pangkat genap lainnya), kita juga harus waspada. Angka di dalam akar (yang kita sebut 'radikan') nggak boleh negatif, guys. Kenapa? Karena sampai sekarang, kita belum bisa ngasih jawaban pasti kalau disuruh cari akar kuadrat dari angka minus. Jadi, kita harus pastikan radikan selalu lebih dari atau sama dengan nol.

Terakhir, kadang fungsi itu udah 'disetel' dari sananya, kayak fungsi polinomial (misalnya $f(x) = x^2 + 2x - 1$). Untuk fungsi-fungsi kayak gini, hampir semua angka bisa jadi input. Jadi, domainnya biasanya semua bilangan real, atau ditulis sebagai $(-\infty, \infty)$. Tapi, ini nggak berlaku buat semua jenis fungsi, ya. Kita harus selalu periksa 'aturan main' yang udah kita bahas tadi.

Penting banget buat menguasai konsep domain ini sebelum kita ngomongin fungsi komposisi. Ibaratnya, kita harus bisa jalan dulu sebelum lari, kan? Dengan paham domain masing-masing fungsi, kita bisa lebih gampang nentuin domain gabungan mereka nanti. Jadi, jangan sampai terlewat, ya! Cermati baik-baik setiap fungsi yang dikasih, identifikasi 'batasan-batasan' yang ada, dan catat nilai-nilai 'x' yang diizinkan. Ini adalah fondasi utama kita untuk sukses menyelesaikan soal-soal fungsi komposisi yang lebih kompleks.

Mengupas Fungsi yang Diberikan: $f(x)$ dan $g(x)$

Oke, guys, sekarang kita punya dua fungsi kece nih: $f(x) = 4-x$ dan $g(x) = \sqrt{x}$. Mari kita bedah satu per satu domain dari masing-masing fungsi ini. Ini penting banget biar kita nggak salah langkah nanti.

Domain Fungsi $f(x) = 4-x$

Kita lihat fungsi $f(x) = 4-x$. Apa ada aturan khusus yang berlaku di sini? Nggak ada akar, nggak ada pembagian. Ini adalah fungsi linear, guys! Fungsi linear itu super ramah. Dia bisa menerima input 'x' berapapun, mau positif, negatif, nol, bahkan pecahan. Jadi, domain dari fungsi $f(x)$ ini adalah semua bilangan real. Kita bisa tulis dalam notasi interval sebagai $(-\infty, \infty)$.

Sekarang, coba kita lihat pilihan jawaban yang ada. Pilihan a bilang $Df = (-\infty, 4)$ dan pilihan d bilang $Df = (-\infty, \infty)$. Dari analisis kita barusan, pilihan d. $Df = (-\infty, \infty)$ yang bener. Pilihan a salah karena membatasi domain $f(x)$ padahal seharusnya tidak perlu.

Domain Fungsi $g(x) = \sqrt{x}$

Selanjutnya, kita punya fungsi $g(x) = \sqrt{x}$. Nah, di sini ada tanda akar kuadrat. Ingat 'aturan main' kita? Angka di dalam akar, alias radikan, nggak boleh negatif. Jadi, kita harus punya syarat: $x \ge 0$.

Artinya, $g(x)$ hanya bisa menerima input 'x' yang bernilai nol atau positif. Dalam notasi interval, domain dari $g(x)$ adalah $[0, \infty)$. Tanda kurung siku '[' di angka 0 menunjukkan bahwa 0 termasuk dalam domain, dan simbol tak terhingga '$\infty$' menunjukkan bahwa domain ini terus berlanjut ke arah positif tanpa batas.

Kalau kita lihat pilihan jawaban, ada pilihan c. $Dg = [0, \infty)$. Nah, ini cocok banget sama hasil analisis kita! Jadi, kita udah punya dua pernyataan yang benar sejauh ini, yaitu d dan c. Tapi, soal meminta kita memilih satu pernyataan yang benar dari pilihan yang ada. Kita harus cari tahu apakah ada pernyataan lain yang juga benar, atau apakah ada konteks lain yang perlu kita pertimbangkan.

Memahami Fungsi Komposisi dan Domainnya: $fg(x)$

Sekarang, kita masuk ke bagian yang paling seru: fungsi komposisi. Dalam soal ini, kita dihadapkan pada notasi $fg(x)$. Nah, perlu kita luruskan dulu, guys. Notasi $fg(x)$ biasanya merujuk pada perkalian dua fungsi, yaitu $f(x) imes g(x)$. Kalau yang dimaksud adalah fungsi komposisi, biasanya ditulis sebagai $(f \circ g)(x)$ atau $f(g(x))$. Kita asumsikan di sini yang dimaksud adalah perkalian fungsi, $f(x) imes g(x)$, karena pilihan jawabannya juga mencakup domain dari $fg$.

Jadi, kita punya fungsi baru hasil perkalian: $(fg)(x) = f(x) imes g(x) = (4-x) imes \sqrt{x}$

Untuk menentukan domain dari hasil perkalian dua fungsi, kita perlu mempertimbangkan domain dari kedua fungsi tersebut. Domain dari fungsi hasil perkalian adalah irisan (nilai-nilai yang sama) dari domain fungsi-fungsi penyusunnya.

Kita sudah tahu:

• Domain $f(x)$ adalah $(-\infty, \infty)$.
• Domain $g(x)$ adalah $[0, \infty)$.

Sekarang, kita cari irisannya: $(-\infty, \infty) \cap [0, \infty)$

Irisan dari semua bilangan real dengan bilangan real non-negatif adalah bilangan real non-negatif itu sendiri. Jadi, domain dari $(fg)(x)$ adalah $[0, \infty)$.

Sekarang, mari kita lihat pilihan jawaban yang tersisa:

• b. $D(fg) = [0, \infty)$
• e. $D(fg) = [4, \infty)$

Berdasarkan perhitungan kita, pilihan b. $D(fg) = [0, \infty)$ adalah pernyataan yang benar. Pilihan e salah karena domainnya seharusnya dimulai dari 0, bukan 4.

Kesimpulan: Pernyataan Mana yang Benar?

Mari kita rangkum temuan kita:

• Domain $f(x) = 4-x$ adalah $(-\infty, \infty)$. Ini membuat pernyataan d. $Df = (-\infty, \infty)$ menjadi benar.
• Domain $g(x) = \sqrt{x}$ adalah $[0, \infty)$. Ini membuat pernyataan c. $Dg = [0, \infty)$ menjadi benar.
• Domain $(fg)(x) = (4-x)\sqrt{x}$ adalah irisan dari domain $f$ dan $g$, yaitu $[0, \infty)$. Ini membuat pernyataan b. $D(fg) = [0, \infty)$ menjadi benar.

Wah, ternyata ada tiga pernyataan yang benar dalam pilihan ganda ini, yaitu b, c, dan d! Ini agak unik ya, biasanya soal pilihan ganda hanya punya satu jawaban yang benar. Namun, jika kita harus memilih satu pernyataan yang