Simplificarea Radicalilor: Exerciții Rezolvate Și Explicații

by TextBrain Team 61 views

Bună, matematicieni! Astăzi, ne vom adânci în lumea radicalilor și vom învăța cum să scoatem factorii de sub radical. Sună complicat? Nu vă faceți griji, vom lua totul pas cu pas. Vom rezolva o serie de exerciții, inclusiv cele menționate în cerință: a) √(32); b) √(72); c) √(75); d) √(192); e) -√(150); f) √(338); g) √(108); h) -√(147); i) √(270); j) √(175); k) √(216); l) √(288). Vom începe cu o scurtă recapitulare a conceptelor de bază, apoi vom explora metodele de simplificare și, în final, vom rezolva împreună exercițiile propuse. Pregătiți-vă creioanele și hârtiile, pentru că urmează o lecție interactivă și plină de surprize!

Ce Sunt Radicalii? Recapitulare Rapidă

Înainte de a ne arunca cu capul înainte în rezolvarea exercițiilor, haideți să ne amintim ce sunt radicalii. Radicalul este, în esență, operația inversă a ridicării la putere. De exemplu, radicalul pătrat al unui număr este numărul care, ridicat la pătratul său, dă numărul inițial. Simbolul radicalului este √. Deci, √(9) = 3, deoarece 3² = 9. Radicalii pot fi de diferite grade (pătrat, cubic, etc.), dar în acest articol ne vom concentra pe radicalii pătrați. Înțelegerea conceptului de bază este crucială pentru a aborda eficient simplificarea radicalilor. Gândiți-vă la radicali ca la niște chei care ne ajută să descoperim valorile ascunse în spatele numerelor. Prin simplificarea radicalilor, ne propunem să exprimăm radicalul într-o formă mai simplă, în care nu mai există factori care pot fi scoși de sub semnul radicalului. Aceasta implică descompunerea numărului de sub radical în factori primi și aplicarea proprietăților radicalilor. Pe parcursul rezolvării exercițiilor, vom explora aceste concepte în detaliu, astfel încât să vă familiarizați cu procesul de simplificare. Scopul final este de a putea identifica rapid și eficient factorii care pot fi scoși de sub radical și de a exprima radicalul într-o formă mai simplă și mai ușor de gestionat. Fiți atenți la factorii primi și la modul în care aceștia pot fi grupați pentru a simplifica radicalul.

Metoda de Simplificare a Radicalilor: Ghid Practic

Acum că am revăzut conceptele de bază, să trecem la metoda de simplificare propriu-zisă. Simplificarea radicalilor implică următoarele etape: 1. Descompunerea în factori primi: Primul pas este să descompunem numărul de sub radical în factori primi. Factorii primi sunt numerele prime (divizibile doar cu 1 și cu ele însele) care, înmulțite, dau numărul inițial. De exemplu, factorii primi ai lui 12 sunt 2, 2 și 3 (12 = 2 x 2 x 3). 2. Identificarea perechilor (sau grupurilor): După descompunere, identificăm perechile (sau grupurile, în funcție de gradul radicalului) de factori primi. De exemplu, în descompunerea lui 12, avem o pereche de 2. 3. Scoaterea factorilor: Fiecare pereche de factori primi poate fi scoasă de sub radical. Factorul primește un singur exemplar în afara radicalului. În exemplul nostru, putem scoate un 2 de sub radical, iar în interiorul radicalului rămâne 3. 4. Simplificarea finală: În final, simplificăm expresia obținută, efectuând înmulțirile necesare. În exemplul nostru, forma simplificată a lui √(12) este 2√(3). Acesta este procesul de bază, dar vom vedea că, în funcție de număr, pot exista mai mulți pași. Acesta este secretul simplificării radicalilor. Învățând acești pași, veți putea rezolva orice exercițiu, de la cele mai simple la cele mai complexe. Nu uitați, practica este cheia. Cu cât exersați mai mult, cu atât veți deveni mai pricepuți. Vom aplica aceste etape la exercițiile noastre, astfel încât să le înțelegeți mai bine. Fiți atenți la fiecare pas și nu ezitați să repetați procesul până când vă simțiți confortabil cu el. Acesta este un pas important în consolidarea cunoștințelor de matematică, deoarece vă permite să lucrați cu numerele într-un mod mai eficient. Prin simplificarea radicalilor, puteți face calcule mai ușoare și puteți înțelege mai bine relațiile dintre numere.

Exerciții Rezolvate: Scoatem Factorii de Sub Radical

Acum, să ne punem cunoștințele în practică! Vom rezolva împreună exercițiile propuse, pas cu pas. Vom aplica metoda de simplificare detaliată mai sus. Fiți atenți la descompunerea în factori primi și la modul în care scoatem factorii de sub radical. Vă încurajez să încercați să rezolvați exercițiile singuri înainte de a vedea soluția, pentru a vă testa cunoștințele. Să începem!

a) √(32)

  1. Descompunem în factori primi: 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 (2⁵) 2. Identificăm perechile: Avem două perechi de 2. 3. Scoatem factorii: Scoatem câte un 2 de la fiecare pereche, rezultând 2 x 2√(2). 4. Simplificăm: 2 x 2√(2) = 4√(2). Deci, √(32) = 4√(2).

b) √(72)

  1. Descompunem în factori primi: 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 (2³ x 3²) 2. Identificăm perechile: Avem o pereche de 2 și o pereche de 3. 3. Scoatem factorii: Scoatem un 2 și un 3, rezultând 2 x 3√(2). 4. Simplificăm: 2 x 3√(2) = 6√(2). Deci, √(72) = 6√(2).

c) √(75)

  1. Descompunem în factori primi: 75 = 3 x 5 x 5 (3 x 5²) 2. Identificăm perechile: Avem o pereche de 5. 3. Scoatem factorii: Scoatem un 5, rezultând 5√(3). 4. Simplificăm: 5√(3) rămâne 5√(3). Deci, √(75) = 5√(3).

d) √(192)

  1. Descompunem în factori primi: 192 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 (2⁵ x 3) 2. Identificăm perechile: Avem două perechi de 2. 3. Scoatem factorii: Scoatem câte un 2 de la fiecare pereche, rezultând 2 x 2√(2 x 3). 4. Simplificăm: 2 x 2√(2 x 3) = 4√(6). Deci, √(192) = 8√(3).

e) -√(150)

  1. Descompunem în factori primi: 150 = 2 x 3 x 5 x 5 (2 x 3 x 5²) 2. Identificăm perechile: Avem o pereche de 5. 3. Scoatem factorii: Scoatem un 5, rezultând -5√(2 x 3). 4. Simplificăm: -5√(2 x 3) = -5√(6). Deci, -√(150) = -5√(6).

f) √(338)

  1. Descompunem în factori primi: 338 = 2 x 13 x 13 (2 x 13²) 2. Identificăm perechile: Avem o pereche de 13. 3. Scoatem factorii: Scoatem un 13, rezultând 13√(2). 4. Simplificăm: 13√(2) rămâne 13√(2). Deci, √(338) = 13√(2).

g) √(108)

  1. Descompunem în factori primi: 108 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 (2² x 3³) 2. Identificăm perechile: Avem o pereche de 2 și o pereche de 3. 3. Scoatem factorii: Scoatem un 2 și un 3, rezultând 2 x 3√(3). 4. Simplificăm: 2 x 3√(3) = 6√(3). Deci, √(108) = 6√(3).

h) -√(147)

  1. Descompunem în factori primi: 147 = 3 x 7 x 7 (3 x 7²) 2. Identificăm perechile: Avem o pereche de 7. 3. Scoatem factorii: Scoatem un 7, rezultând -7√(3). 4. Simplificăm: -7√(3) rămâne -7√(3). Deci, -√(147) = -7√(3).

i) √(270)

  1. Descompunem în factori primi: 270 = 2 x 3 x 3 x 3 x 5 (2 x 3³ x 5) 2. Identificăm perechile: Avem o pereche de 3. 3. Scoatem factorii: Scoatem un 3, rezultând 3√(2 x 3 x 5). 4. Simplificăm: 3√(2 x 3 x 5) = 3√(30). Deci, √(270) = 3√(30).

j) √(175)

  1. Descompunem în factori primi: 175 = 5 x 5 x 7 (5² x 7) 2. Identificăm perechile: Avem o pereche de 5. 3. Scoatem factorii: Scoatem un 5, rezultând 5√(7). 4. Simplificăm: 5√(7) rămâne 5√(7). Deci, √(175) = 5√(7).

k) √(216)

  1. Descompunem în factori primi: 216 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 (2³ x 3³) 2. Identificăm perechile: Avem o pereche de 2 și o pereche de 3. 3. Scoatem factorii: Scoatem un 2 și un 3, rezultând 2 x 3√(2 x 3). 4. Simplificăm: 2 x 3√(2 x 3) = 6√(6). Deci, √(216) = 6√(6).

l) √(288)

  1. Descompunem în factori primi: 288 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 (2⁵ x 3²) 2. Identificăm perechile: Avem două perechi de 2 și o pereche de 3. 3. Scoatem factorii: Scoatem câte un 2 de la fiecare pereche și un 3, rezultând 2 x 2 x 3√(2). 4. Simplificăm: 2 x 2 x 3√(2) = 12√(2). Deci, √(288) = 12√(2).

Concluzie: Simplificarea Radicalilor, o Calatorie Plină de Success!

Bravo, dragilor! Ați parcurs cu succes exercițiile de simplificare a radicalilor. Sper că ați înțeles pașii și că vă simțiți mai încrezători în rezolvarea acestor tipuri de probleme. Amintiți-vă că practica constantă este cheia succesului. Continuați să exersați, să rezolvați diverse exerciții și să explorați proprietățile radicalilor. Matematica poate fi distractivă, iar simplificarea radicalilor este doar un pas important în această călătorie. Dacă aveți întrebări sau doriți să explorați alte subiecte matematice, nu ezitați să le adresați. Ne vedem la următoarea lecție! Spor la învățat și nu uitați, matematica este o aventură! Înțelegerea simplificării radicalilor vă va ajuta nu numai la rezolvarea problemelor de algebră, ci și la dezvoltarea gândirii logice și a abilităților de rezolvare a problemelor. Nu uitați să verificați întotdeauna rezultatele, pentru a vă asigura că ați efectuat corect calculele și simplificările. Simplificarea radicalilor este o abilitate valoroasă în matematică, care vă va fi utilă în multe alte domenii. Continuați să exersați și veți stăpâni această abilitate! Cu pași simpli și explicații clare, veți putea scoate factorii de sub radical cu ușurință. Succes!