Vektor K: Menemukan Titik Awal Dengan Vektor Arah

by TextBrain Team 50 views

Hey guys! Pernah gak sih kalian ketemu soal vektor yang bikin pusing tujuh keliling? Khususnya kalau kita dikasih tahu titik akhir dan arahnya, tapi malah disuruh nyari titik awalnya. Nah, kali ini kita bakal kupas tuntas nih gimana caranya nentuin titik awal dari sebuah vektor, sebut aja vektor kโƒ—{\vec{k}}, kalau kita udah tahu titik akhirnya, yaitu Q (3,0,5). Selain itu, kita juga akan lihat dua skenario berbeda: yang pertama, kโƒ—{\vec{k}} punya arah yang sama dengan vektor lain aโƒ—{\vec{a}} = (4,-2,-1), dan yang kedua, kโƒ—{\vec{k}} punya arah yang berlawanan dengan aโƒ—{\vec{a}}. Siap? Yuk, kita mulai petualangan matematika kita!

Memahami Konsep Dasar Vektor

Sebelum kita nyelam ke soalnya, penting banget nih buat kita inget lagi apa sih vektor itu. Gampangnya, vektor itu punya besaran (magnitude) dan arah. Bayangin aja kayak panah. Panjang panahnya itu besaran, dan ujung panahnya nunjukin arah. Dalam koordinat Kartesius, vektor bisa kita gambarin pakai komponen-komponennya. Misalnya, vektor vโƒ—{\vec{v}} = (x, y, z) artinya vektor itu bergerak sejauh x satuan di sumbu x, y satuan di sumbu y, dan z satuan di sumbu z dari titik pangkalnya ke titik ujungnya. Nah, kalau kita punya titik awal A (x1,y1,z1){(x_1, y_1, z_1)} dan titik akhir B (x2,y2,z2){(x_2, y_2, z_2)}, maka vektor ABโƒ—{\vec{AB}} itu bisa dihitung dengan mengurangkan koordinat titik akhir dengan titik awal: ABโƒ—{\vec{AB}} = (x2โˆ’x1,y2โˆ’y1,z2โˆ’z1){(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)}. Ini kunci penting yang bakal sering kita pakai, jadi pastikan udah nempel di kepala ya, guys!

Sekarang, kita punya soal tentang vektor kโƒ—{\vec{k}} yang titik akhirnya udah jelas, yaitu Q (3,0,5). Kita perlu cari titik awalnya, sebut aja P (xp,yp,zp){(x_p, y_p, z_p)}. Jadi, kita bisa tulis kโƒ—{\vec{k}} = PQโƒ—{\vec{PQ}} = (3โˆ’xp,0โˆ’yp,5โˆ’zp){(3 - x_p, 0 - y_p, 5 - z_p)}. Masalahnya, kita belum tahu nilai xp,yp,{x_p, y_p,} dan zp{z_p}. Nah, di sinilah informasi tentang arah vektor aโƒ—{\vec{a}} = (4,-2,-1) jadi penyelamat kita. Informasi arah ini bakal ngasih kita petunjuk tentang hubungan antara kโƒ—{\vec{k}} dan aโƒ—{\vec{a}}. Keren kan? Matematika tuh kayak detektif, dikasih petunjuk dikit, eh bisa mecahin misteri!

Yang perlu diingat juga, kalau dua vektor punya arah yang sama, artinya salah satu vektor itu adalah kelipatan positif dari vektor yang lain. Sebaliknya, kalau punya arah yang berlawanan, artinya salah satu vektor adalah kelipatan negatif dari vektor yang lain. Konsep kelipatan ini penting banget buat menyelesaikan soal kita. Jadi, kalau kโƒ—{\vec{k}} searah dengan aโƒ—{\vec{a}}, maka kโƒ—{\vec{k}} = c aโƒ—{\vec{a}} di mana c adalah konstanta positif. Kalau kโƒ—{\vec{k}} berlawanan arah dengan aโƒ—{\vec{a}}, maka kโƒ—{\vec{k}} = c aโƒ—{\vec{a}} di mana c adalah konstanta negatif. Paham sampai sini, guys? Kalau udah, yuk kita langsung terapkan ke soal bagian (a)!

Bagian (a): Arah yang Sama dengan aโƒ—{\vec{a}}

Oke, guys, kita masuk ke bagian pertama. Di sini, vektor kโƒ—{\vec{k}} punya arah yang sama dengan aโƒ—{\vec{a}} = (4,-2,-1). Ingat konsep yang baru aja kita bahas? Kalau dua vektor punya arah yang sama, berarti salah satu vektor itu adalah kelipatan positif dari yang lain. Dalam kasus ini, kita bisa tulis kโƒ—{\vec{k}} = c aโƒ—{\vec{a}}, di mana c adalah konstanta positif (c > 0).

Kita tahu bahwa kโƒ—{\vec{k}} = PQโƒ—{\vec{PQ}} = (3โˆ’xp,0โˆ’yp,5โˆ’zp){(3 - x_p, 0 - y_p, 5 - z_p)}. Kita juga tahu aโƒ—{\vec{a}} = (4,-2,-1). Jadi, kita bisa samakan kedua persamaan ini:

(3โˆ’xp,0โˆ’yp,5โˆ’zp){(3 - x_p, 0 - y_p, 5 - z_p)} = c (4,โˆ’2,โˆ’1){(4,-2,-1)}

Ini artinya, setiap komponen harus sama:

  1. 3โˆ’xp=4c{3 - x_p = 4c}
  2. 0โˆ’yp=โˆ’2cโ‡’โˆ’yp=โˆ’2cโ‡’yp=2c{0 - y_p = -2c \Rightarrow -y_p = -2c \Rightarrow y_p = 2c}
  3. 5โˆ’zp=โˆ’c{5 - z_p = -c}

Dari persamaan ini, kita dapatkan ekspresi untuk koordinat titik awal P dalam bentuk c:

  • xp=3โˆ’4c{x_p = 3 - 4c}
  • yp=2c{y_p = 2c}
  • zp=5+c{z_p = 5 + c}

Nah, sampai sini kita punya koordinat titik awal P (3โˆ’4c,2c,5+c){(3 - 4c, 2c, 5 + c)}. Tapi, kok masih ada variabel c ya? Tenang, guys! Soal ini sebenarnya punya tak terhingga banyak solusi untuk titik awal P. Kenapa? Karena kita hanya dikasih tahu arahnya, tapi tidak ada informasi tentang panjang (besaran) dari vektor kโƒ—{\vec{k}}. Kalau panjangnya diketahui, barulah kita bisa menentukan nilai c yang spesifik.

Contohnya gini: Kalau kita pilih c = 1 (ini kan positif, jadi memenuhi syarat arah sama), maka titik awalnya adalah P (3โˆ’4(1),2(1),5+1){(3 - 4(1), 2(1), 5 + 1)} = P (โˆ’1,2,6){(-1, 2, 6)}. Kalau kita pilih c = 2, maka P (3โˆ’4(2),2(2),5+2){(3 - 4(2), 2(2), 5 + 2)} = P (โˆ’5,4,7){(-5, 4, 7)}. Kalau kita pilih c = 0.5, maka P (3โˆ’4(0.5),2(0.5),5+0.5){(3 - 4(0.5), 2(0.5), 5 + 0.5)} = P (1,1,5.5){(1, 1, 5.5)}. Semua titik P ini kalau dihubungkan ke Q (3,0,5) akan menghasilkan vektor kโƒ—{\vec{k}} yang arahnya sama dengan aโƒ—{\vec{a}}.

Jadi, jawaban untuk bagian (a) adalah titik awal P dapat dinyatakan sebagai (3โˆ’4c,2c,5+c){(3 - 4c, 2c, 5 + c)} untuk setiap nilai c>0{c > 0}. Kita tidak bisa menentukan satu titik awal yang pasti tanpa informasi tambahan mengenai panjang vektor kโƒ—{\vec{k}} atau informasi lain yang bisa membantu kita menemukan nilai c.

Perlu ditekankan lagi, vektor yang memiliki arah yang sama berarti mereka berada pada garis lurus yang sama atau sejajar, dan menunjuk ke arah yang identik. kโƒ—{\vec{k}} = c aโƒ—{\vec{a}} dengan c positif adalah representasi matematis yang sempurna untuk kondisi ini. Komponen-komponen kโƒ—{\vec{k}} akan proporsional dengan komponen aโƒ—{\vec{a}}, hanya saja skalanya bisa lebih besar atau lebih kecil, tapi arahnya tetap sama. Misalnya, kalau aโƒ—{\vec{a}} itu langkah ke depan, maka kโƒ—{\vec{k}} juga langkah ke depan, bisa jadi langkahnya lebih panjang, lebih pendek, atau sama persis, tapi gak mungkin mundur atau belok.

Dalam konteks soal ini, kita menetapkan titik akhir Q (3,0,5). Misalkan titik awal adalah P(x,y,z). Maka kโƒ—=PQโƒ—=(3โˆ’x,0โˆ’y,5โˆ’z){\vec{k} = \vec{PQ} = (3-x, 0-y, 5-z)}. Karena kโƒ—{\vec{k}} searah dengan aโƒ—=(4,โˆ’2,โˆ’1){\vec{a} = (4,-2,-1)}, maka kโƒ—=caโƒ—{\vec{k} = c \vec{a}} untuk suatu c>0{c > 0}. Ini membawa kita ke sistem persamaan yang sudah kita lihat: 3โˆ’x=4c{3-x = 4c}, โˆ’y=โˆ’2c{-y = -2c}, dan 5โˆ’z=โˆ’c{5-z = -c}. Mengisolasi x, y, dan z memberikan x=3โˆ’4c{x = 3-4c}, y=2c{y = 2c}, dan z=5+c{z = 5+c}. Jadi, titik awal P (x,y,z){(x,y,z)} adalah (3โˆ’4c,2c,5+c){(3-4c, 2c, 5+c)} di mana c{c} adalah konstanta positif apa pun. Tanpa batasan tambahan, ada tak hingga banyak titik P yang memenuhi syarat ini.

Bagian (b): Arah yang Berlawanan dengan aโƒ—{\vec{a}}

Sekarang kita lanjut ke bagian kedua, guys! Masih sama, titik akhir kโƒ—{\vec{k}} adalah Q (3,0,5), dan kita cari titik awalnya P (xp,yp,zp){(x_p, y_p, z_p)}. Bedanya, kali ini kโƒ—{\vec{k}} punya arah yang berlawanan dengan aโƒ—{\vec{a}} = (4,-2,-1). Apa artinya ini dalam matematika? Yup, betul banget! Kalau arahnya berlawanan, berarti kโƒ—{\vec{k}} adalah kelipatan negatif dari aโƒ—{\vec{a}}. Jadi, kita bisa tulis kโƒ—{\vec{k}} = c aโƒ—{\vec{a}}, di mana c adalah konstanta negatif (c < 0).

Sama seperti sebelumnya, kita punya:

kโƒ—{\vec{k}} = (3โˆ’xp,0โˆ’yp,5โˆ’zp){(3 - x_p, 0 - y_p, 5 - z_p)}

Dan

kโƒ—{\vec{k}} = c (4,โˆ’2,โˆ’1){(4,-2,-1)}

Jadi, kita bisa samakan lagi:

(3โˆ’xp,0โˆ’yp,5โˆ’zp){(3 - x_p, 0 - y_p, 5 - z_p)} = c (4,โˆ’2,โˆ’1){(4,-2,-1)}

Dan ini menghasilkan sistem persamaan yang mirip:

  1. 3โˆ’xp=4c{3 - x_p = 4c}
  2. 0โˆ’yp=โˆ’2cโ‡’yp=2c{0 - y_p = -2c \Rightarrow y_p = 2c}
  3. 5โˆ’zp=โˆ’c{5 - z_p = -c}

Dari sini, kita dapatkan ekspresi untuk koordinat titik awal P dalam bentuk c:

  • xp=3โˆ’4c{x_p = 3 - 4c}
  • yp=2c{y_p = 2c}
  • zp=5+c{z_p = 5 + c}

Nah, perhatikan! Rumus untuk xp,yp,{x_p, y_p,} dan zp{z_p} ini sama persis dengan yang kita dapatkan di bagian (a). Tapi, ada satu syarat penting yang membedakan: di bagian ini, c{c} harus bernilai negatif (c < 0). Sama seperti sebelumnya, tanpa informasi tambahan mengenai panjang kโƒ—{\vec{k}}, kita tidak bisa menentukan satu nilai c yang pasti. Jadi, ada tak terhingga banyak solusi lagi untuk titik awal P.

Contohnya: Kalau kita pilih c = -1 (ini kan negatif, jadi memenuhi syarat arah berlawanan), maka titik awalnya adalah P (3โˆ’4(โˆ’1),2(โˆ’1),5+(โˆ’1)){(3 - 4(-1), 2(-1), 5 + (-1))} = P (3+4,โˆ’2,5โˆ’1){(3 + 4, -2, 5 - 1)} = P (7,โˆ’2,4){(7, -2, 4)}. Kalau kita pilih c = -2, maka P (3โˆ’4(โˆ’2),2(โˆ’2),5+(โˆ’2)){(3 - 4(-2), 2(-2), 5 + (-2))} = P (3+8,โˆ’4,5โˆ’2){(3 + 8, -4, 5 - 2)} = P (11,โˆ’4,3){(11, -4, 3)}. Kalau kita pilih c = -0.5, maka P (3โˆ’4(โˆ’0.5),2(โˆ’0.5),5+(โˆ’0.5)){(3 - 4(-0.5), 2(-0.5), 5 + (-0.5))} = P (3+2,โˆ’1,5โˆ’0.5){(3 + 2, -1, 5 - 0.5)} = P (5,โˆ’1,4.5){(5, -1, 4.5)}. Semua titik P ini kalau dihubungkan ke Q (3,0,5) akan menghasilkan vektor kโƒ—{\vec{k}} yang arahnya berlawanan dengan aโƒ—{\vec{a}}.

Jadi, jawaban untuk bagian (b) adalah titik awal P dapat dinyatakan sebagai (3โˆ’4c,2c,5+c){(3 - 4c, 2c, 5 + c)} untuk setiap nilai c<0{c < 0}. Sama seperti sebelumnya, kita tidak bisa menentukan satu titik awal yang pasti tanpa informasi tambahan.

Konsep arah yang berlawanan dalam vektor sangat krusial. Ini berarti vektor-vektor tersebut paralel tetapi menunjuk ke arah yang bertolak belakang. Jika aโƒ—{\vec{a}} adalah vektor pergerakan maju, maka kโƒ—{\vec{k}} dalam kasus ini adalah vektor pergerakan mundur. Relasi matematis kโƒ—=caโƒ—{\vec{k} = c \vec{a}} dengan c<0{c < 0} secara akurat menangkap hubungan ini. Komponen-komponen kโƒ—{\vec{k}} akan proporsional dengan komponen aโƒ—{\vec{a}} tetapi dengan tanda yang berlawanan (atau setidaknya salah satu komponennya akan memiliki tanda berlawanan jika komponen aโƒ—{\vec{a}} ada yang nol) dan skala yang bisa berbeda. Vektor aโƒ—{\vec{a}} = (4,-2,-1) memiliki komponen positif di x, negatif di y, dan negatif di z. Sebuah vektor kโƒ—{\vec{k}} yang berlawanan arah dengannya, misalnya kโƒ—{\vec{k}} = -2 aโƒ—{\vec{a}} = (-8, 4, 2), akan memiliki komponen negatif di x, positif di y, dan positif di z, menunjukkan arah yang berlawanan secara keseluruhan.

Dengan titik akhir Q (3,0,5) dan titik awal P(x,y,z), kita memiliki kโƒ—=PQโƒ—=(3โˆ’x,0โˆ’y,5โˆ’z){\vec{k} = \vec{PQ} = (3-x, 0-y, 5-z)}. Kondisi bahwa kโƒ—{\vec{k}} berlawanan arah dengan aโƒ—=(4,โˆ’2,โˆ’1){\vec{a} = (4,-2,-1)} berarti kโƒ—=caโƒ—{\vec{k} = c \vec{a}} untuk suatu c<0{c < 0}. Sistem persamaannya menjadi 3โˆ’x=4c{3-x = 4c}, โˆ’y=โˆ’2c{-y = -2c}, dan 5โˆ’z=โˆ’c{5-z = -c}. Mengisolasi x, y, dan z menghasilkan x=3โˆ’4c{x = 3-4c}, y=2c{y = 2c}, dan z=5+c{z = 5+c}. Jadi, titik awal P (x,y,z){(x,y,z)} adalah (3โˆ’4c,2c,5+c){(3-4c, 2c, 5+c)} di mana c{c} adalah konstanta negatif apa pun. Sekali lagi, tanpa batasan tambahan, ada tak hingga banyak titik P yang memenuhi syarat ini.

Kesimpulan: Kekuatan Parameterisasi dalam Vektor

Jadi, guys, kita udah lihat nih gimana caranya nentuin titik awal vektor kโƒ—{\vec{k}} kalau diketahui titik akhirnya dan arahnya. Kuncinya ada di pemahaman kita tentang bagaimana vektor-vektor yang sejajar atau berlawanan arah itu bisa dinyatakan sebagai kelipatan satu sama lain. Baik itu searah (c > 0) maupun berlawanan arah (c < 0), titik awal P (xp,yp,zp){(x_p, y_p, z_p)} selalu bisa dinyatakan dalam bentuk parameter c{c} sebagai (3โˆ’4c,2c,5+c){(3 - 4c, 2c, 5 + c)}.

Hal ini nunjukin kekuatan parameterisasi dalam matematika, terutama dalam aljabar linear dan geometri vektor. Dengan menggunakan parameter seperti c{c}, kita bisa mendeskripsikan sekumpulan solusi yang tak terhingga banyaknya dengan satu ekspresi yang ringkas. Ini sangat berguna di banyak bidang, mulai dari fisika, teknik, grafika komputer, sampai machine learning.

Ingat ya, dalam soal ini, kita gak dapet solusi titik awal yang tunggal karena informasi yang diberikan hanya cukup untuk menentukan arah vektor kโƒ—{\vec{k}}, bukan panjangnya. Kalau aja ada tambahan informasi, misalnya panjang kโƒ—{\vec{k}} adalah 5 satuan, atau titik awal kโƒ—{\vec{k}} terletak pada bidang tertentu, nah baru deh kita bisa nemuin nilai c{c} yang spesifik dan akhirnya satu titik awal yang pasti. Tapi, tanpa itu, jawaban dalam bentuk parameter c{c} adalah jawaban yang paling tepat dan lengkap.

Semoga penjelasan ini bikin kalian makin pede ya sama materi vektor. Jangan lupa buat terus latihan soal biar makin jago. Kalau ada pertanyaan lagi, jangan sungkan buat nanya ya! Happy math-ing, everyone!