Soal Matematika: Logaritma, Aritmetika, Dan Geometri

Hey guys, welcome back! Hari ini kita bakal bedah beberapa soal matematika yang sering bikin pusing, tapi sebenarnya seru banget kalau udah paham konsepnya. Kita punya tiga soal nih, yang pertama soal logaritma, kedua deret aritmetika, dan ketiga deret geometri. Yuk, langsung aja kita kupas tuntas satu per satu biar kalian makin jago!

Soal 22: Menguasai Logaritma dengan Benar

Soal pertama kita adalah: 22. Hasil dari ${}^2 ext{log } 25 imes {}^5 ext{log } 6 - {}^2 ext{log } 9$ adalah. Nah, buat kalian yang lagi belajar logaritma, ini penting banget nih. Kunci buat ngerjain soal logaritma itu adalah memanfaatkan sifat-sifatnya. Jangan langsung panik lihat angka-angkanya, kita bedah pelan-pelan ya.

Langkah 1: Ubah basis logaritma agar sama.

Di soal ini, kita punya basis 2 dan 5. Agak repot kan kalau beda-beda? Nah, kita bisa pakai sifat logaritma {}^a ext{log } b = rac{{}^c ext{log } b}{{}^c ext{log } a}. Kita bisa ubah ${}^5 ext{log } 6$ jadi basis 2, atau kita ubah semuanya ke basis lain. Tapi, lihat dulu angka-angkanya. Ada 25, 6, 9, basis 2, dan basis 5. Coba kita ubah ${}^5 ext{log } 6$ ke basis 2. Pakai sifat {}^a ext{log } b = rac{1}{{}^b ext{log } a} dan {}^a ext{log } b imes {}^b ext{log } c = {}^a ext{log } c}.

Atau cara yang lebih mudah, kita bisa pakai sifat {}^a ext{log } b imes {}^b ext{log } c = {}^a ext{log } c}. Di sini kita punya ${}^2 ext{log } 25 imes {}^5 ext{log } 6$. Kalau kita ubah ${}^2 ext{log } 25$ jadi ${}^2 ext{log } 5^2 = 2 imes {}^2 ext{log } 5$. Belum nyambung ya? Oke, kita coba trik lain. Gimana kalau kita ubah ${}^5 ext{log } 6$ jadi basis 2?

{}^5 ext{log } 6 = rac{{}^2 ext{log } 6}{{}^2 ext{log } 5}.

Jadi, {}^2 ext{log } 25 imes {}^5 ext{log } 6 = {}^2 ext{log } 25 imes rac{{}^2 ext{log } 6}{{}^2 ext{log } 5}. Ini masih agak rumit. Mari kita coba cara yang lebih elegan.

Perhatikan bagian ${}^2 ext{log } 25 imes {}^5 ext{log } 6$. Kita bisa gunakan sifat {}^a ext{log } b = rac{ ext{log } b}{ ext{log } a} (dengan basis log yang sama, misalnya basis 10 atau e).

{}^2 ext{log } 25 imes {}^5 ext{log } 6 = rac{ ext{log } 25}{ ext{log } 2} imes rac{ ext{log } 6}{ ext{log } 5}

Karena $25 = 5^2$, maka $ ext{log } 25 = ext{log } 5^2 = 2 imes ext{log } 5$. Jadi:

= rac{2 imes ext{log } 5}{ ext{log } 2} imes rac{ ext{log } 6}{ ext{log } 5}

Nah, $ ext{log } 5$ nya bisa kita coret! Keren kan? Hasilnya jadi:

= rac{2 imes ext{log } 6}{ ext{log } 2}

Dengan sifat logaritma yang sama, ini sama dengan 2 imes rac{ ext{log } 6}{ ext{log } 2} = 2 imes {}^2 ext{log } 6 = {}^2 ext{log } 6^2 = {}^2 ext{log } 36.

Langkah 2: Gabungkan dengan bagian lain.

Sekarang soalnya jadi: ${}^2 ext{log } 36 - {}^2 ext{log } 9$. Kita punya basis yang sama, yaitu 2. Gunakan sifat {}^a ext{log } b - {}^a ext{log } c = {}^a ext{log } rac{b}{c}.

{}^2 ext{log } 36 - {}^2 ext{log } 9 = {}^2 ext{log } rac{36}{9} = {}^2 ext{log } 4.

Langkah 3: Sederhanakan hasil akhir.

Terakhir, kita hitung ${}^2 ext{log } 4$. Ini artinya, 2 pangkat berapa yang hasilnya 4? Jawabannya adalah 2, karena $2^2 = 4$.

Jadi, hasil dari ${}^2 ext{log } 25 imes {}^5 ext{log } 6 - {}^2 ext{log } 9$ adalah 2. Gimana, guys? Nggak sesulit yang dibayangkan kan kalau kita tahu triknya?

Soal 23: Menggali Potensi Deret Aritmetika

Selanjutnya, kita punya soal deret aritmetika: 23. Diketahui deret aritmetika dengan suku kelima adalah 23 dan suku kedelapan adalah 35. Jumlah 30 suku pertama deret aritmetika tersebut adalah .... Wah, ini soal klasik tapi penting banget buat kalian kuasai. Deret aritmetika itu intinya punya beda yang sama antar suku-sukunya. Yuk, kita cari tahu 'daleman' deret ini.

Langkah 1: Cari beda (b) deret.

Kita tahu suku kelima ($U_5$) adalah 23, dan suku kedelapan ($U_8$) adalah 35. Rumus suku ke-n pada deret aritmetika adalah $U_n = a + (n-1)b$, di mana 'a' adalah suku pertama dan 'b' adalah beda.

Dari sini, kita punya:

$U_5 = a + (5-1)b = a + 4b = 23$ $U_8 = a + (8-1)b = a + 7b = 35$

Untuk mencari 'b', kita bisa kurangkan persamaan kedua dengan persamaan pertama:

$(a + 7b) - (a + 4b) = 35 - 23$ $3b = 12$ b = rac{12}{3} = 4.

Jadi, beda antar suku di deret ini adalah 4. Keren!

Langkah 2: Cari suku pertama (a).

Sekarang kita udah tahu b=4. Kita bisa substitusikan nilai 'b' ke salah satu persamaan tadi, misalnya $U_5 = a + 4b = 23$.

$a + 4(4) = 23$ $a + 16 = 23$ $a = 23 - 16 = 7$.

Yeay! Suku pertama deret ini adalah 7.

Langkah 3: Hitung jumlah 30 suku pertama (S_30).

Rumus untuk mencari jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S_n = rac{n}{2} [2a + (n-1)b]. Kita mau cari $S_{30}$, jadi n=30.

S_{30} = rac{30}{2} [2(7) + (30-1)(4)] $S_{30} = 15 [14 + (29)(4)]$ $S_{30} = 15 [14 + 116]$ $S_{30} = 15 [130]$

Sekarang kita tinggal hitung perkaliannya: $15 imes 130 = 15 imes (100 + 30) = 1500 + 450 = 1950$.

Jadi, jumlah 30 suku pertama dari deret aritmetika tersebut adalah 1950. Mantap, guys! Kita udah selesain soal deret aritmetika.

Soal 24: Menyelami Rahasia Deret Geometri

Terakhir, kita punya soal deret geometri. Soal ini biasanya tentang rasio dan suku-suku. Mari kita asumsikan soalnya seperti ini:

24. Diketahui deret geometri dengan suku kedua adalah 10 dan suku kelima adalah 80. Tentukan rasio dan suku pertama deret tersebut.

Deret geometri itu beda sama aritmetika. Kalau aritmetika punya beda tetap, kalau geometri punya rasio tetap. Jadi, setiap suku didapat dari suku sebelumnya dikali dengan rasio yang sama.

Langkah 1: Cari rasio (r) deret.

Rumus suku ke-n pada deret geometri adalah $U_n = a imes r^{n-1}$.

Dari soal (asumsi): Suku kedua ($U_2$) = 10, Suku kelima ($U_5$) = 80.

$U_2 = a imes r^{2-1} = a imes r = 10$ $U_5 = a imes r^{5-1} = a imes r^4 = 80$

Untuk mencari 'r', cara paling gampang adalah membagi persamaan kedua dengan persamaan pertama:

rac{U_5}{U_2} = rac{a imes r^4}{a imes r} = rac{80}{10} $r^{4-1} = 8$ $r^3 = 8$

Nah, 8 itu kan $2^3$. Jadi, $r^3 = 2^3$. Maka, rasio (r) adalah 2. Gampang kan?

Langkah 2: Cari suku pertama (a).

Sekarang kita udah tahu r=2. Kita bisa pakai persamaan $U_2 = a imes r = 10$ buat cari 'a'.

$a imes 2 = 10$ a = rac{10}{2} = 5.

Jadi, suku pertama dari deret geometri ini adalah 5. Keren!

Kesimpulan:

Nah, guys, itu dia pembahasan tiga soal matematika kita hari ini. Dari logaritma, deret aritmetika, sampai deret geometri. Kuncinya adalah pahami sifat-sifat dan rumusnya, lalu latih terus menerus. Jangan pernah takut salah, karena dari kesalahan itulah kita belajar.

Semoga penjelasan ini membantu kalian ya! Kalau ada soal lain yang mau dibahas, jangan ragu tinggalkan di kolom komentar. Sampai jumpa di artikel berikutnya!