Розв'язуємо Логарифмічне Рівняння: Покрокова Інструкція

Привіт, друзі! Сьогодні ми з вами розберемося з розв'язанням логарифмічного рівняння: log₁/₂(4x - 1) + log₁/₂(x + 1) = log₀,₅ 3,5. Звучить, можливо, трохи страшно, але повірте мені, нічого складного тут немає. Головне – це розуміти основні принципи та властивості логарифмів. Отже, давайте почнемо нашу захопливу подорож у світ математики! У цьому гайді ми пройдемо крізь усі етапи розв'язання, щоб ви могли самостійно справлятися з подібними завданнями. Ми не просто дамо відповідь, а й детально розберемо кожен крок, щоб ви розуміли, звідки що береться. Готові? Поїхали!

Крок 1: Використовуємо властивість логарифмів – сума логарифмів

Перший крок у розв'язанні будь-якого логарифмічного рівняння – це спрощення. У нашому випадку ми бачимо суму двох логарифмів з однаковою основою. На щастя, існує чудова властивість логарифмів, яка дозволяє нам об'єднати їх в один логарифм. Згадуємо властивість: logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(b * c). Це означає, що сума логарифмів з однаковою основою дорівнює логарифму від добутку їх аргументів. Застосуємо цю властивість до нашого рівняння. Ми отримаємо: log₁/₂((4x - 1) * (x + 1)) = log₀,₅ 3,5. Ось бачите, вже стало трохи простіше! Ми звели два логарифми в один, що значно полегшує подальшу роботу. Пам'ятайте, що ця властивість є ключем до багатьох задач з логарифмами, тож варто її добре запам'ятати. Тепер, коли ми маємо один логарифм з одного боку, переходимо до наступного кроку.

Увага! Не забувайте про область допустимих значень (ОДЗ). Аргументи логарифмів повинні бути додатніми, тобто 4x - 1 > 0 та x + 1 > 0. Це допоможе нам уникнути помилок і переконатися, що отримані відповіді є коректними. Поки що просто тримайте це в голові, а ми повернемося до ОДЗ пізніше.

Крок 2: Звільняємося від логарифмів

Тепер, коли у нас є рівняння виду log₁/₂((4x - 1) * (x + 1)) = log₀,₅ 3,5, наступним кроком буде позбавлення від логарифмів. Оскільки основи логарифмів з обох сторін рівняння однакові (або їх можна зробити однаковими), ми можемо просто прирівняти аргументи логарифмів. Тобто, (4x - 1) * (x + 1) = 3,5. Це вже простіше! Ми перейшли від логарифмічного рівняння до звичайного алгебраїчного, яке можна розв'язати. Розкриваємо дужки та спрощуємо вираз: 4x² + 4x - x - 1 = 3,5. Зводимо подібні члени: 4x² + 3x - 1 = 3,5. Переносимо все в один бік: 4x² + 3x - 4,5 = 0. У результаті ми отримали квадратне рівняння. Тепер наше завдання – розв'язати це квадратне рівняння, щоб знайти значення x. Далі ми розглянемо, як це зробити.

Крок 3: Розв'язуємо квадратне рівняння

Отже, ми маємо квадратне рівняння 4x² + 3x - 4,5 = 0. Існує декілька способів розв'язання квадратних рівнянь: через дискримінант, за теоремою Вієта або графічно. Найбільш поширеним і універсальним методом є використання дискримінанта. Нагадаємо формулу дискримінанта: D = b² - 4ac. У нашому рівнянні a = 4, b = 3, c = -4,5. Підставляємо ці значення у формулу: D = 3² - 4 * 4 * (-4,5) = 9 + 72 = 81. Тепер, коли ми знайшли дискримінант, обчислюємо корені квадратного рівняння за формулою: x = (-b ± √D) / 2a. Підставляємо значення: x = (-3 ± √81) / (2 * 4) = (-3 ± 9) / 8. Отримуємо два можливих значення для x: x₁ = (-3 + 9) / 8 = 6 / 8 = 0,75 та x₂ = (-3 - 9) / 8 = -12 / 8 = -1,5. Ми знайшли потенційні корені нашого рівняння. Але це ще не все! Нам потрібно перевірити, чи задовольняють ці корені умови ОДЗ. Зараз ми цим і займемося.

Крок 4: Перевіряємо ОДЗ (Область Допустимих Значень)

Як ми вже згадували на початку, дуже важливо перевірити, чи задовольняють знайдені корені області допустимих значень (ОДЗ). Нагадую, що ОДЗ для логарифмічного рівняння визначається умовою, що аргументи логарифмів повинні бути додатними. У нашому випадку це означає, що 4x - 1 > 0 та x + 1 > 0. Розв'яжемо ці нерівності:

• 4x - 1 > 0 => 4x > 1 => x > 0,25
• x + 1 > 0 => x > -1

Отже, щоб обидва логарифми мали сенс, x має бути більше 0,25. Тепер перевіряємо наші знайдені корені:

• x₁ = 0,75: Задовольняє умову x > 0,25. Це наш потенційний корінь.
• x₂ = -1,5: Не задовольняє умову x > 0,25. Цей корінь є стороннім і не підходить.

Висновок: єдиним коренем нашого логарифмічного рівняння є x = 0,75. Перевірка ОДЗ – найважливіший крок у розв'язанні логарифмічних рівнянь. Ніколи не забувайте про нього!

Крок 5: Записуємо відповідь

Вітаю, друзі! Ми дійшли до кінця нашого шляху. Ми розв'язали логарифмічне рівняння log₁/₂(4x - 1) + log₁/₂(x + 1) = log₀,₅ 3,5 і знайшли корінь x = 0,75. Тепер можна сміливо записати відповідь. Відповідь: x = 0,75 або x = 3/4. Ось і все! Ми пройшли всі етапи розв'язання логарифмічного рівняння, і тепер ви знаєте, як це робиться. Пам'ятайте про основні властивості логарифмів, будьте уважні до ОДЗ, і у вас все вийде! Якщо у вас виникли питання, не соромтеся їх ставити. Бажаю вам успіхів у вивченні математики! До зустрічі на наступних уроках!

Підсумовуючи, ось основні етапи розв'язання:

1. Використовуємо властивості логарифмів для спрощення рівняння.
2. Позбавляємося від логарифмів.
3. Розв'язуємо отримане алгебраїчне рівняння.
4. Перевіряємо знайдені корені на відповідність ОДЗ.
5. Записуємо відповідь.

Цей алгоритм працює для багатьох логарифмічних рівнянь. Практикуйтеся, і у вас все вийде! Не бійтеся логарифмів, вони не такі страшні, як здаються!