Resolviendo Sistemas De Ecuaciones: Guía Paso A Paso
¡Hola a todos los apasionados por las matemáticas! Hoy vamos a sumergirnos en el emocionante mundo de los sistemas de ecuaciones lineales, específicamente aquellos que involucran fracciones. No os preocupéis, no es tan aterrador como parece. Con un poco de práctica y siguiendo los pasos correctos, dominaréis este tema. Así que, ¡preparaos para desglosar el problema y convertirlo en algo manejable! Este artículo te guiará a través de un ejemplo práctico, ofreciéndote una comprensión clara y sencilla de cómo abordar este tipo de problemas.
Entendiendo el Problema: El Punto de Partida
Primero que nada, es crucial entender lo que tenemos entre manos. En este caso, nos enfrentamos a un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables. ¿Qué significa esto? Básicamente, tenemos dos ecuaciones, cada una con x e y, y nuestro objetivo es encontrar los valores de x e y que satisfagan ambas ecuaciones simultáneamente. Imaginen que cada ecuación representa una línea en un plano cartesiano; resolver el sistema es encontrar el punto donde estas dos líneas se cruzan. ¡Ese punto es la solución!
En nuestro ejemplo, las ecuaciones son:
$ rac{x}{8} - rac{y}{5} = 1 rac{1}{10} $
$ rac{x}{5} + rac{y}{4} = -1 rac{10}{40} $
Ahora, antes de entrar en pánico por las fracciones, ¡mantengamos la calma! Podemos convertir los números mixtos a fracciones impropias para que todo sea más fácil de manejar. Esto simplificará nuestros cálculos y reducirá las posibilidades de error. Además, es importante recordar que existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, y elegir el más adecuado puede hacer que el proceso sea mucho más sencillo. Entre los métodos más comunes se encuentran la sustitución, la eliminación (o suma y resta) y la igualación. En este caso, podríamos usar cualquiera de ellos, pero optaremos por la eliminación, ya que puede ser más directo cuando hay fracciones involucradas.
Preparando las Ecuaciones: Eliminando las Fracciones y Simplificando
El primer paso es convertir los números mixtos a fracciones impropias. Esto hace que las ecuaciones sean más fáciles de trabajar. Para hacer esto, multiplicamos el entero por el denominador y sumamos el numerador, manteniendo el mismo denominador. Vamos a ello:
1 rac{1}{10} = rac{(1 * 10) + 1}{10} = rac{11}{10}
$ -1 rac{10}{40} = - rac{(1 * 40) + 10}{40} = - rac{50}{40} = - rac{5}{4}$
Ahora, nuestras ecuaciones se ven así:
$ rac{x}{8} - rac{y}{5} = rac{11}{10}$
$ rac{x}{5} + rac{y}{4} = - rac{5}{4}$
El siguiente paso es deshacernos de las fracciones para que sea más fácil trabajar con los números enteros. Para hacer esto, encontramos el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores en cada ecuación y multiplicamos ambos lados de la ecuación por este MCM. Esto elimina las fracciones. Hagámoslo:
Para la primera ecuación: Los denominadores son 8, 5 y 10. El MCM de 8, 5 y 10 es 40. Multiplicamos toda la ecuación por 40:
40 * ( rac{x}{8} - rac{y}{5}) = 40 * rac{11}{10}
Para la segunda ecuación: Los denominadores son 5 y 4. El MCM de 5 y 4 es 20. Multiplicamos toda la ecuación por 20:
20 * ( rac{x}{5} + rac{y}{4}) = 20 * - rac{5}{4}
Ahora, tenemos un sistema de ecuaciones sin fracciones:
¡Mucho mejor, ¿verdad?!
Resolviendo el Sistema: El Método de Eliminación
El método de eliminación (también conocido como suma y resta) es ideal cuando intentamos eliminar una de las variables. La idea es manipular las ecuaciones para que, al sumarlas o restarlas, una de las variables se cancele. Para esto, necesitamos que los coeficientes de una de las variables sean iguales en magnitud pero con signos opuestos. Veamos cómo funciona.
En nuestro caso, podemos elegir eliminar x o y. Vamos a eliminar x. Para hacerlo, necesitamos que los coeficientes de x sean iguales en magnitud pero con signos opuestos. Multiplicaremos la primera ecuación por 4 y la segunda ecuación por -5:
Ahora, sumamos las dos ecuaciones resultantes:
Ahora, resolvemos para y dividiendo ambos lados por -57:
y = rac{301}{-57}
y = - rac{301}{57}
Así que, hemos encontrado el valor de y! Aunque no es un número entero, eso no significa que esté mal. Las soluciones de los sistemas de ecuaciones pueden ser fracciones. Ahora, necesitamos encontrar el valor de x.
Encontrando el Valor de x: Sustituyendo el Valor de y
Para encontrar x, vamos a sustituir el valor de y que acabamos de encontrar en cualquiera de las ecuaciones originales (sin fracciones). Usaremos la ecuación :
5x - 8 * (- rac{301}{57}) = 44
5x + rac{2408}{57} = 44
Ahora, restamos rac{2408}{57} de ambos lados de la ecuación:
5x = 44 - rac{2408}{57}
5x = rac{2508}{57} - rac{2408}{57}
5x = rac{100}{57}
Finalmente, dividimos ambos lados por 5 para resolver para x:
x = rac{100}{57} / 5
x = rac{100}{57} * rac{1}{5}
x = rac{20}{57}
¡Y listo! Hemos encontrado los valores de x e y. La solución del sistema de ecuaciones es x = rac{20}{57} e y = - rac{301}{57}.
Verificando la Solución: Asegurándonos de que Estamos en lo Correcto
Siempre es una buena idea verificar nuestra solución para asegurarnos de que es correcta. Para hacer esto, sustituimos los valores de x e y que encontramos en las ecuaciones originales. Vamos a hacerlo con la primera ecuación:
rac{x}{8} - rac{y}{5} = rac{11}{10}
rac{20/57}{8} - rac{-301/57}{5} = rac{11}{10}
rac{20}{57*8} + rac{301}{57*5} = rac{11}{10}
rac{20}{456} + rac{301}{285} = rac{11}{10}
rac{5}{114} + rac{301}{285} = rac{11}{10}
rac{25}{570} + rac{602}{570} = rac{627}{570}
rac{627}{570} = rac{627}{570}
Ahora, verificaremos con la segunda ecuación:
rac{x}{5} + rac{y}{4} = - rac{5}{4}
rac{20/57}{5} + rac{-301/57}{4} = - rac{5}{4}
rac{20}{57*5} - rac{301}{57*4} = - rac{5}{4}
rac{20}{285} - rac{301}{228} = - rac{5}{4}
rac{4}{57} - rac{301}{228} = - rac{5}{4}
rac{16}{228} - rac{301}{228} = - rac{285}{228}
- rac{285}{228} = - rac{285}{228}
¡La solución funciona en ambas ecuaciones! Esto nos da la confianza de que hemos resuelto el sistema correctamente.
Conclusión: ¡Has Conquistado el Sistema!
Felicidades, chicos! Han demostrado que pueden resolver sistemas de ecuaciones con fracciones. Recuerden, la clave es la práctica y seguir los pasos con cuidado. No tengan miedo de cometer errores; son una excelente oportunidad para aprender. Con cada problema que resuelvan, se sentirán más cómodos y seguros. Recuerden convertir números mixtos a fracciones impropias, encontrar el MCM, eliminar fracciones y usar el método de eliminación o sustitución. ¡Sigan practicando y se convertirán en expertos!
¡Hasta la próxima, futuros matemáticos!
