Menghitung Nilai Ekspresi Matematika: Panduan Lengkap

by TextBrain Team 54 views

Mari kita bedah soal matematika ini, guys! Soal ini meminta kita untuk mencari nilai dari sebuah ekspresi yang melibatkan pecahan dan akar kuadrat. Tenang saja, kita akan selesaikan langkah demi langkah agar mudah dipahami. Tujuan utama kita adalah menyederhanakan ekspresi tersebut hingga mendapatkan nilai akhirnya. Kuncinya adalah melakukan rasionalisasi penyebut untuk menghilangkan akar kuadrat di penyebut setiap pecahan. Setelah itu, kita bisa menyederhanakan ekspresi tersebut dengan menggabungkan suku-suku yang sejenis. So, let's get started!

Langkah-Langkah Penyelesaian

Rasionalisasi Penyebut Pecahan Pertama

Pecahan pertama yang perlu kita tangani adalah 21+3\frac{2}{1+\sqrt{3}}. Untuk merasionalkan penyebutnya, kita kalikan pecahan ini dengan bentuk sekawan dari penyebutnya. Bentuk sekawan dari 1+31+\sqrt{3} adalah 1−31-\sqrt{3}. Jadi, kita lakukan:

21+3×1−31−3=2(1−3)(1+3)(1−3)\frac{2}{1+\sqrt{3}} \times \frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = \frac{2(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}

Selanjutnya, kita kalikan pembilang dan penyebutnya:

  • Pembilang: 2(1−3)=2−232(1-\sqrt{3}) = 2 - 2\sqrt{3}
  • Penyebut: (1+3)(1−3)=1−3=−2(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) = 1 - 3 = -2

Sehingga, pecahan pertama menjadi:

2−23−2=−1+3\frac{2 - 2\sqrt{3}}{-2} = -1 + \sqrt{3}

Rasionalisasi Penyebut Pecahan Kedua

Sekarang, mari kita selesaikan pecahan kedua, yaitu 71−22\frac{7}{1-2\sqrt{2}}. Bentuk sekawan dari 1−221-2\sqrt{2} adalah 1+221+2\sqrt{2}. Kita lakukan hal yang sama seperti sebelumnya:

71−22×1+221+22=7(1+22)(1−22)(1+22)\frac{7}{1-2\sqrt{2}} \times \frac{1+2\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}} = \frac{7(1+2\sqrt{2})}{(1-2\sqrt{2})(1+2\sqrt{2})}

Mari kita hitung pembilang dan penyebutnya:

  • Pembilang: 7(1+22)=7+1427(1+2\sqrt{2}) = 7 + 14\sqrt{2}
  • Penyebut: (1−22)(1+22)=1−8=−7(1-2\sqrt{2})(1+2\sqrt{2}) = 1 - 8 = -7

Sehingga, pecahan kedua menjadi:

7+142−7=−1−22\frac{7 + 14\sqrt{2}}{-7} = -1 - 2\sqrt{2}

Rasionalisasi Penyebut Pecahan Ketiga

Terakhir, kita tangani pecahan ketiga, 522+3\frac{5}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}. Bentuk sekawan dari 22+32\sqrt{2}+\sqrt{3} adalah 22−32\sqrt{2}-\sqrt{3}. Kita lakukan lagi:

522+3×22−322−3=5(22−3)(22+3)(22−3)\frac{5}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{5(2\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(2\sqrt{2}+\sqrt{3})(2\sqrt{2}-\sqrt{3})}

Hitung pembilang dan penyebutnya:

  • Pembilang: 5(22−3)=102−535(2\sqrt{2}-\sqrt{3}) = 10\sqrt{2} - 5\sqrt{3}
  • Penyebut: (22+3)(22−3)=8−3=5(2\sqrt{2}+\sqrt{3})(2\sqrt{2}-\sqrt{3}) = 8 - 3 = 5

Sehingga, pecahan ketiga menjadi:

102−535=22−3\frac{10\sqrt{2} - 5\sqrt{3}}{5} = 2\sqrt{2} - \sqrt{3}

Penjumlahan Semua Pecahan

Sekarang, kita jumlahkan hasil dari ketiga pecahan yang sudah kita sederhanakan:

(−1+3)+(−1−22)+(22−3)(-1 + \sqrt{3}) + (-1 - 2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2} - \sqrt{3})

Kita kelompokkan suku-suku yang sejenis:

=−1−1+3−3−22+22= -1 - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}

Kemudian, kita sederhanakan:

=−2+0+0= -2 + 0 + 0

=−2= -2

Jadi, nilai dari ekspresi tersebut adalah -2.

Kesimpulan

Dengan melakukan rasionalisasi penyebut dan menyederhanakan ekspresi, kita berhasil menemukan nilai akhir dari soal ini, yaitu -2. Ingatlah, guys, bahwa kunci dalam menyelesaikan soal seperti ini adalah ketelitian dalam perhitungan dan pemahaman konsep rasionalisasi penyebut. Soal ini menguji kemampuan kita dalam manipulasi aljabar dan kemampuan untuk bekerja dengan akar kuadrat. Jangan ragu untuk berlatih lebih banyak soal serupa agar semakin mahir!

Jawaban yang Tepat

Jawaban yang tepat adalah A. -2

Tips Tambahan

  • Perhatikan Tanda: Hati-hati dalam mengelola tanda positif dan negatif saat melakukan perhitungan. Kesalahan tanda adalah hal yang umum terjadi.
  • Latihan Teratur: Semakin sering Anda berlatih soal-soal serupa, semakin mudah Anda mengenali pola dan metode penyelesaiannya.
  • Gunakan Kalkulator (Jika Diperbolehkan): Jika diperbolehkan, gunakan kalkulator untuk memeriksa perhitungan Anda, terutama untuk operasi yang melibatkan akar kuadrat.

Selamat! Sekarang kalian sudah memahami cara menyelesaikan soal ini. Teruslah berlatih dan jangan pernah menyerah dalam belajar matematika! Jika ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya, ya! Tetap semangat!

Tambahan: Mengapa Rasionalisasi Penyebut Penting?

Guys, kalian mungkin bertanya-tanya, mengapa sih kita harus repot-repot merasionalkan penyebut? Nah, ada beberapa alasan penting di baliknya. Pertama, merasionalkan penyebut membuat ekspresi lebih mudah untuk disederhanakan. Dengan menghilangkan akar kuadrat di penyebut, kita bisa menggabungkan suku-suku yang sejenis dengan lebih mudah. Kedua, bentuk yang sudah dirasionalkan seringkali lebih mudah untuk dibandingkan dengan ekspresi lain. Misalnya, jika kita perlu membandingkan dua pecahan yang memiliki akar kuadrat di penyebut, akan lebih mudah jika kita merasionalkan penyebutnya terlebih dahulu. Ketiga, dalam beberapa kasus, bentuk yang sudah dirasionalkan lebih mudah untuk dianalisis dalam konteks matematika yang lebih luas, seperti dalam kalkulus. Intinya, rasionalisasi penyebut adalah teknik yang sangat berguna untuk menyederhanakan ekspresi matematika dan mempermudah analisis lebih lanjut. Jadi, jangan lupakan teknik ini, ya!

Contoh Soal Latihan Tambahan

Untuk mengasah kemampuan kalian, coba kerjakan soal-soal latihan berikut:

  1. 32+5+47−2\frac{3}{2+\sqrt{5}} + \frac{4}{\sqrt{7}-2}
  2. 11+2−12+2\frac{1}{1+\sqrt{2}} - \frac{1}{2+\sqrt{2}}
  3. 68−2+43+1\frac{6}{\sqrt{8} - \sqrt{2}} + \frac{4}{\sqrt{3} + 1}

Coba kerjakan soal-soal ini sebagai latihan tambahan. Selamat mencoba!