Menentukan Persamaan Garis: Panduan Lengkap Dengan Contoh Soal

by TextBrain Team 63 views

Hai guys! Mari kita selami dunia matematika yang seru, khususnya tentang persamaan garis. Buat kalian yang lagi belajar atau sekadar pengin refresh pengetahuan, artikel ini pas banget. Kita akan bahas gimana cara menentukan persamaan garis dengan berbagai kondisi, mulai dari sudut yang dibentuk sampai hubungan dengan garis lain. Yuk, simak!

A. Persamaan Garis dengan Sudut 45° terhadap Sumbu x Positif

Memahami Konsep Dasar: Gradien dan Turunan

Oke, guys, pertama-tama kita akan membahas soal tentang persamaan garis singgung pada elips. Soalnya begini: x² + 3y² = 27 yang membentuk sudut 45° terhadap sumbu x positif. Apa sih maksudnya? Nah, sudut 45° ini berkaitan erat dengan gradien (m) garis singgung. Gradien itu adalah ukuran kemiringan garis. Kalau sudutnya 45°, berarti gradiennya adalah 1. Kok bisa? Karena gradien = tan(sudut). Tan(45°) = 1. Mudah, kan?

Selanjutnya, kita perlu menggunakan konsep turunan. Turunan ini membantu kita mencari gradien garis singgung pada suatu kurva di titik tertentu. Ingat, turunan dari suatu fungsi di suatu titik akan memberikan gradien garis singgung di titik tersebut. Jadi, kita akan mencari turunan dari persamaan elips x² + 3y² = 27 untuk mendapatkan gradiennya.

Untuk mencari persamaan garis singgungnya, kita perlu melakukan beberapa langkah berikut. Pertama, kita turunkan persamaan elips terhadap x. Persamaan elips kita adalah x² + 3y² = 27. Dengan menggunakan aturan turunan, kita dapatkan: 2x + 6y(dy/dx) = 0. Di sini, dy/dx adalah turunan y terhadap x, yang juga merupakan gradien garis singgung (m).

Kemudian, kita selesaikan persamaan di atas untuk dy/dx: dy/dx = -x / 3y. Karena kita tahu gradien garis singgung yang kita inginkan adalah 1 (karena sudutnya 45°), maka kita atur dy/dx = 1. Ini memberi kita persamaan: -x / 3y = 1 atau x = -3y. Persamaan ini akan membantu kita menemukan titik singgung pada elips.

Terakhir, kita substitusikan x = -3y ke dalam persamaan elips x² + 3y² = 27. Dengan mengganti x, kita dapatkan (-3y)² + 3y² = 27, yang menyederhanakan menjadi 9y² + 3y² = 27, atau 12y² = 27. Dengan membagi kedua sisi dengan 12, kita dapatkan y² = 2.25. Akar kuadrat dari kedua sisi memberi kita y = ±1.5.

Setelah mendapatkan nilai y, kita bisa mencari nilai x menggunakan persamaan x = -3y. Untuk y = 1.5, kita dapatkan x = -4.5. Untuk y = -1.5, kita dapatkan x = 4.5. Jadi, kita punya dua titik singgung, yaitu (-4.5, 1.5) dan (4.5, -1.5).

Dengan menggunakan titik-titik singgung dan gradien yang sudah kita ketahui (m = 1), kita bisa menyusun persamaan garis singgung menggunakan rumus y - y1 = m(x - x1). Untuk titik (-4.5, 1.5), persamaan garis singgungnya adalah y - 1.5 = 1(x + 4.5), yang menyederhanakan menjadi y = x + 6. Untuk titik (4.5, -1.5), persamaan garis singgungnya adalah y + 1.5 = 1(x - 4.5), yang menyederhanakan menjadi y = x - 6. Jadi, ada dua persamaan garis yang memenuhi, yaitu y = x + 6 dan y = x - 6.

Langkah-langkah Praktis Menemukan Persamaan Garis

  • Tentukan Gradien: Karena sudutnya 45°, maka gradien (m) = tan(45°) = 1.
  • Turunan Implisit: Turunkan persamaan elips x² + 3y² = 27 terhadap x.
  • Cari dy/dx: Selesaikan turunan untuk mendapatkan dy/dx (gradien).
  • Substitusi dan Cari Titik: Atur dy/dx = 1 (gradien yang diinginkan) dan substitusikan kembali ke persamaan elips untuk mencari titik singgung (x, y).
  • Susun Persamaan Garis: Gunakan rumus y - y1 = m(x - x1) dengan gradien dan titik singgung untuk mendapatkan persamaan garis.

Kesimpulan: Untuk soal ini, kita mendapatkan dua persamaan garis yang memenuhi, yaitu y = x + 6 dan y = x - 6. Mudah kan, guys?

B. Persamaan Garis yang Tegak Lurus Terhadap Garis Lain

Memahami Konsep Tegak Lurus: Hubungan Gradien

Sekarang, kita beralih ke soal kedua: x² + 4y² = 16 yang tegak lurus terhadap garis √5y + 4x + 3 = 0. Konsep penting di sini adalah hubungan gradien pada garis yang saling tegak lurus. Jika dua garis saling tegak lurus, maka hasil kali gradiennya adalah -1. Artinya, jika gradien garis pertama adalah m1, dan gradien garis kedua adalah m2, maka m1 * m2 = -1.

Langkah pertama, kita perlu mencari gradien garis √5y + 4x + 3 = 0. Kita ubah dulu persamaan ini ke bentuk y = mx + c, dengan mengisolasi y. Kita dapatkan √5y = -4x - 3, lalu bagi kedua sisi dengan √5, sehingga menjadi y = (-4/√5)x - 3/√5. Dari sini, kita tahu bahwa gradien garis ini adalah -4/√5.

Karena garis yang kita cari tegak lurus terhadap garis ini, maka kita bisa mencari gradien garis yang kita inginkan (m1) dengan menggunakan hubungan m1 * (-4/√5) = -1. Dengan membagi kedua sisi dengan -4/√5, kita dapatkan m1 = √5/4. Sekarang kita tahu gradien garis singgung yang kita cari adalah √5/4.

Selanjutnya, kita akan menggunakan konsep turunan implisit seperti pada soal sebelumnya. Kita turunkan persamaan elips x² + 4y² = 16 terhadap x untuk mencari gradien garis singgung pada elips tersebut. Turunannya adalah 2x + 8y(dy/dx) = 0. Kita selesaikan untuk dy/dx: dy/dx = -x / 4y. Kita tahu bahwa dy/dx ini adalah gradien garis singgung (m1).

Karena kita tahu gradien garis singgung yang kita inginkan adalah √5/4, maka kita atur -x / 4y = √5/4. Dari sini, kita dapatkan x = -√5y. Ini adalah hubungan antara x dan y pada titik singgung.

Kita substitusikan x = -√5y ke dalam persamaan elips x² + 4y² = 16. Kita dapatkan (-√5y)² + 4y² = 16, yang menyederhanakan menjadi 5y² + 4y² = 16, atau 9y² = 16. Dengan membagi kedua sisi dengan 9, kita dapatkan y² = 16/9. Akar kuadrat dari kedua sisi memberi kita y = ±4/3.

Setelah mendapatkan nilai y, kita bisa mencari nilai x menggunakan persamaan x = -√5y. Untuk y = 4/3, kita dapatkan x = -4√5/3. Untuk y = -4/3, kita dapatkan x = 4√5/3. Jadi, kita punya dua titik singgung, yaitu (-4√5/3, 4/3) dan (4√5/3, -4/3).

Dengan menggunakan titik-titik singgung dan gradien √5/4, kita bisa menyusun persamaan garis singgung menggunakan rumus y - y1 = m(x - x1). Untuk titik (-4√5/3, 4/3), persamaan garis singgungnya adalah y - 4/3 = (√5/4)(x + 4√5/3), yang menyederhanakan menjadi y = (√5/4)x + 5/3. Untuk titik (4√5/3, -4/3), persamaan garis singgungnya adalah y + 4/3 = (√5/4)(x - 4√5/3), yang menyederhanakan menjadi y = (√5/4)x - 5/3. Jadi, ada dua persamaan garis yang memenuhi, yaitu y = (√5/4)x + 5/3 dan y = (√5/4)x - 5/3.

Rangkuman Langkah-langkah

  • Cari Gradien Garis yang Diketahui: Ubah persamaan garis yang diketahui ke bentuk y = mx + c untuk menemukan gradiennya (m2).
  • Hitung Gradien Garis Tegak Lurus: Gunakan m1 * m2 = -1 untuk mencari gradien garis yang kita cari (m1).
  • Turunan Implisit: Turunkan persamaan elips x² + 4y² = 16 terhadap x.
  • Cari dy/dx: Selesaikan turunan untuk mendapatkan dy/dx (gradien).
  • Substitusi dan Cari Titik: Atur dy/dx = m1 dan substitusikan kembali ke persamaan elips untuk mencari titik singgung (x, y).
  • Susun Persamaan Garis: Gunakan rumus y - y1 = m1(x - x1) dengan gradien dan titik singgung untuk mendapatkan persamaan garis.

Kesimpulan: Kita mendapatkan dua persamaan garis yang memenuhi: y = (√5/4)x + 5/3 dan y = (√5/4)x - 5/3.

C. Persamaan Garis yang Sejajar dengan Garis Lain

Memahami Konsep Sejajar: Gradien yang Sama

Terakhir, kita akan membahas soal ketiga: (x-3)²/16 + (y+1)²/5 = 1 yang sejajar dengan garis x - 2y + 3 = 0. Konsep utama di sini adalah bahwa garis yang sejajar memiliki gradien yang sama. Artinya, jika kita tahu gradien garis yang diketahui, maka gradien garis yang kita cari juga sama.

Langkah pertama, kita cari gradien garis x - 2y + 3 = 0. Kita ubah persamaan ini ke bentuk y = mx + c. Kita dapatkan 2y = x + 3, lalu bagi kedua sisi dengan 2, sehingga menjadi y = (1/2)x + 3/2. Dari sini, kita tahu gradien garis ini adalah 1/2. Karena garis yang kita cari sejajar dengan garis ini, maka gradien garis yang kita cari juga 1/2.

Selanjutnya, kita perlu menemukan titik singgung pada elips (x-3)²/16 + (y+1)²/5 = 1. Kita akan menggunakan turunan implisit untuk mencari gradien garis singgung pada elips. Namun, kali ini kita tahu gradiennya, yaitu 1/2.

Turunkan persamaan elips terhadap x. Dengan menggunakan aturan turunan, kita dapatkan: 2(x-3)/16 + 2(y+1)(dy/dx)/5 = 0. Kita selesaikan untuk dy/dx: (dy/dx) = -5(x-3) / 8(y+1). Kita tahu bahwa gradien garis singgung yang kita inginkan adalah 1/2, maka kita atur (dy/dx) = 1/2. Persamaan kita menjadi 1/2 = -5(x-3) / 8(y+1). Sederhanakan persamaan ini menjadi 4(y+1) = -5(x-3) atau 4y + 4 = -5x + 15, atau 5x + 4y = 11. Kita akan menggunakan ini untuk mencari titik singgung.

Untuk mencari titik singgung, kita perlu menyelesaikan sistem persamaan antara persamaan elips (x-3)²/16 + (y+1)²/5 = 1 dan persamaan 5x + 4y = 11. Kita bisa menyelesaikan persamaan kedua untuk x: x = (11 - 4y) / 5. Kemudian substitusikan nilai x ini ke dalam persamaan elips.

Substitusikan x = (11 - 4y) / 5 ke dalam (x-3)²/16 + (y+1)²/5 = 1. Persamaan menjadi ((11-4y)/5 - 3)²/16 + (y+1)²/5 = 1. Sederhanakan persamaan ini: ((-4-4y)/5)²/16 + (y+1)²/5 = 1. Ini menyederhanakan menjadi (16(y+1)²/25)/16 + (y+1)²/5 = 1, atau (y+1)²/25 + (y+1)²/5 = 1. Kita dapatkan (y+1)² + 5(y+1)² = 25, atau 6(y+1)² = 25. Ini memberi kita (y+1)² = 25/6, sehingga y + 1 = ±√(25/6), atau y = -1 ± 5/√6.

Sekarang kita punya dua nilai y. Untuk y = -1 + 5/√6, kita cari x menggunakan x = (11 - 4y) / 5, sehingga x = (11 - 4(-1 + 5/√6)) / 5, atau x = (15 - 20/√6) / 5, atau x = 3 - 4/√6. Untuk y = -1 - 5/√6, kita cari x menggunakan x = (11 - 4y) / 5, sehingga x = (11 - 4(-1 - 5/√6)) / 5, atau x = (15 + 20/√6) / 5, atau x = 3 + 4/√6. Jadi, kita punya dua titik singgung, yaitu (3 - 4/√6, -1 + 5/√6) dan (3 + 4/√6, -1 - 5/√6).

Dengan menggunakan titik-titik singgung dan gradien 1/2, kita bisa menyusun persamaan garis singgung menggunakan rumus y - y1 = m(x - x1). Untuk titik (3 - 4/√6, -1 + 5/√6), persamaan garis singgungnya adalah y - (-1 + 5/√6) = (1/2)(x - (3 - 4/√6)), yang menyederhanakan menjadi y = (1/2)x - 5/2 + 3/√6. Untuk titik (3 + 4/√6, -1 - 5/√6), persamaan garis singgungnya adalah y - (-1 - 5/√6) = (1/2)(x - (3 + 4/√6)), yang menyederhanakan menjadi y = (1/2)x - 5/2 - 3/√6. Jadi, ada dua persamaan garis yang memenuhi, yaitu y = (1/2)x - 5/2 + 3/√6 dan y = (1/2)x - 5/2 - 3/√6.

Ringkasan Prosedur

  • Temukan Gradien Garis yang Diketahui: Ubah persamaan garis yang diketahui ke bentuk y = mx + c untuk menemukan gradiennya (m).
  • Gradien Sama: Gradien garis yang kita cari sama dengan gradien garis yang diketahui.
  • Turunan Implisit: Turunkan persamaan elips (x-3)²/16 + (y+1)²/5 = 1 terhadap x.
  • Cari dy/dx: Selesaikan turunan untuk mendapatkan dy/dx (gradien).
  • Substitusi dan Cari Titik: Atur dy/dx = m dan selesaikan sistem persamaan dengan persamaan elips untuk menemukan titik singgung (x, y).
  • Susun Persamaan Garis: Gunakan rumus y - y1 = m(x - x1) dengan gradien dan titik singgung untuk mendapatkan persamaan garis.

Kesimpulan: Dalam kasus ini, kita menemukan dua persamaan garis yang sejajar, yaitu y = (1/2)x - 5/2 + 3/√6 dan y = (1/2)x - 5/2 - 3/√6.

Penutup

Nah, guys, itu dia pembahasan lengkap tentang cara menentukan persamaan garis dengan berbagai kondisi. Semoga penjelasan ini bermanfaat dan bisa membantu kalian memahami konsep-konsep dasar dalam matematika. Jangan ragu untuk mencoba soal-soal lain dan terus berlatih, ya! Semangat belajar!