Cum Să Rezolvi Inecuația 3(x + 2) - 2|x-3| > X + 2(x+1) În R

Bună, prieteni! Astăzi, ne vom aventura în lumea fascinantă a matematicii și vom explora rezolvarea inecuației 3(x + 2) - 2|x-3| > x + 2(x+1) în R. Nu vă speriați, nu este atât de complicat pe cât pare. Vom aborda această problemă pas cu pas, pentru ca toți să înțelegem. Pregătiți-vă creioanele și hârtiile, pentru că vom porni într-o călătorie matematică plină de satisfacții! În acest articol, vom descompune inecuația dată, vom analiza valorile absolute și vom găsi soluția finală. Deci, să începem! Vom începe prin a înțelege exact ce înseamnă această inecuație și apoi vom dezvolta o strategie eficientă pentru a o rezolva. Vom explora pașii necesari pentru a izola variabila x și vom identifica intervalele de valori care satisfac inecuația. Scopul nostru este de a vă oferi o înțelegere clară și concisă a procesului de rezolvare, astfel încât să puteți aplica aceste cunoștințe și la alte probleme similare. Haideți să transformăm această provocare matematică într-o oportunitate de a ne îmbunătăți abilitățile și de a ne bucura de frumusețea matematicii!

Primul pas, înțelegerea problemei. Inecuația 3(x + 2) - 2|x-3| > x + 2(x+1) este o afirmație matematică care compară două expresii. Scopul nostru este de a găsi toate valorile lui x pentru care expresia din stânga este mai mare decât expresia din dreapta. Partea dificilă este valoarea absolută |x-3|. Valoarea absolută ne spune distanța dintre x și 3 pe axa numerelor. Aceasta înseamnă că, indiferent dacă x este mai mare sau mai mic decât 3, valoarea absolută va fi întotdeauna pozitivă (sau zero). Vom aborda această parte mai târziu, dar este important să o avem în minte de la început. În esență, rezolvarea inecuației înseamnă să determinăm setul de numere reale care, atunci când sunt înlocuite în inecuație, fac ca aceasta să fie adevărată. Să trecem la simplificarea expresiei. Vom începe prin a scăpa de paranteze și a simplifica expresiile. 3(x + 2) devine 3x + 6, iar 2(x + 1) devine 2x + 2. Inecuația noastră se transformă în 3x + 6 - 2|x-3| > x + 2x + 2. Acum, vom combina termenii asemenea pe partea dreaptă a inecuației. x + 2x devine 3x. Deci, avem 3x + 6 - 2|x-3| > 3x + 2. Unul dintre cele mai importante aspecte este identificarea valorii absolute. Valoarea absolută |x-3| necesită o atenție specială. O vom trata în două cazuri, deoarece valoarea absolută depinde de valoarea lui x.

Cazurile Valorii Absolute și Rezolvarea Inecuației

Acum, să abordăm valoarea absolută |x-3|. Deoarece valoarea absolută depinde de valoarea lui x, trebuie să împărțim problema în două cazuri distincte.

Cazul 1: x ≥ 3. În acest caz, x - 3 este non-negativ, deci |x - 3| = x - 3. Înlocuim |x - 3| cu x - 3 în inecuația noastră simplificată: 3x + 6 - 2(x - 3) > 3x + 2. Simplificăm mai departe: 3x + 6 - 2x + 6 > 3x + 2. Combinăm termenii asemenea: x + 12 > 3x + 2. Apoi, izolăm x: 10 > 2x, sau x < 5. Deci, în acest caz, soluția este 3 ≤ x < 5. Este important să ne amintim că am început cu presupunerea că x ≥ 3, deci trebuie să ne asigurăm că soluția noastră se încadrează în acest interval.

Cazul 2: x < 3. În acest caz, x - 3 este negativ, deci |x - 3| = -(x - 3) = -x + 3. Înlocuim |x - 3| cu -x + 3 în inecuația noastră simplificată: 3x + 6 - 2(-x + 3) > 3x + 2. Simplificăm: 3x + 6 + 2x - 6 > 3x + 2. Combinăm termenii asemenea: 5x > 3x + 2. Apoi, izolăm x: 2x > 2, sau x > 1. Deci, în acest caz, soluția este 1 < x < 3. Din nou, trebuie să ne amintim că am început cu presupunerea că x < 3, deci soluția noastră trebuie să se încadreze în acest interval.

Combinarea Soluțiilor și Soluția Finală

Combinarea Soluțiilor. Am rezolvat inecuația pentru ambele cazuri, acum trebuie să combinăm soluțiile pentru a găsi soluția finală. În Cazul 1, am găsit că 3 ≤ x < 5. În Cazul 2, am găsit că 1 < x < 3. Combinând aceste intervale, obținem soluția finală.

Soluția finală este 1 < x < 5. Asta înseamnă că orice număr real între 1 și 5 (dar nu incluzând 1 și 5) va satisface inecuația originală. Puteți verifica acest lucru înlocuind câteva valori în inecuație pentru a vă asigura că rezultatul este corect. De exemplu, dacă înlocuim x cu 2, obținem o afirmație adevărată. Dacă înlocuim x cu 6 (care nu este în intervalul soluției), obținem o afirmație falsă.

Verificarea Soluției și Concluzii

Verificarea Soluției. Pentru a ne asigura că soluția noastră este corectă, putem verifica prin înlocuirea unor valori din intervalul găsit în inecuația originală. De exemplu, să verificăm cu x = 2. Inecuția originală este 3(x + 2) - 2|x - 3| > x + 2(x + 1). Înlocuind x cu 2, obținem: 3(2 + 2) - 2|2 - 3| > 2 + 2(2 + 1), care se simplifică la 12 - 2 > 8, adică 10 > 8. Aceasta este adevărată, deci x = 2 face parte din soluție. Putem verifica și cu x = 4. 3(4 + 2) - 2|4 - 3| > 4 + 2(4 + 1), care se simplifică la 18 - 2 > 14, adică 16 > 14. Aceasta este, de asemenea, adevărată.

Concluzii. Am reușit să rezolvăm inecuația 3(x + 2) - 2|x - 3| > x + 2(x + 1) în R. Am împărțit problema în cazuri, am simplificat expresiile, am găsit soluțiile pentru fiecare caz și le-am combinat pentru a obține soluția finală: 1 < x < 5. Sper că acest ghid v-a fost de ajutor și că acum înțelegeți mai bine cum să abordați astfel de probleme. Nu uitați să exersați și să aplicați aceste principii la alte probleme similare. Matematica poate fi distractivă, și cu puțină practică, veți deveni maeștri în rezolvarea inecuațiilor!

Recapitulare și Sfaturi Utile

Recapitulare. Pentru a recapitulă, pașii principali în rezolvarea acestei inecuații au fost:

1. Simplificarea expresiei: Am eliminat parantezele și am combinat termenii asemenea.
2. Identificarea valorii absolute: Am recunoscut importanța valorii absolute și am împărțit problema în două cazuri.
3. Rezolvarea pentru fiecare caz: Am rezolvat inecuația pentru fiecare caz (x ≥ 3 și x < 3).
4. Combinarea soluțiilor: Am combinat soluțiile pentru a obține soluția finală.
5. Verificarea soluției: Am verificat soluția prin înlocuirea unor valori în inecuația originală.

Sfaturi Utile. Iată câteva sfaturi utile pentru rezolvarea inecuațiilor:

• Fiți atenți la valoarea absolută: Valoarea absolută este adesea punctul central în problemele de inecuații. Asigurați-vă că o tratați corect, împărțind problema în cazuri.
• Simplificați cu atenție: Evitați greșelile de calcul simplificând expresiile pas cu pas.
• Verificați întotdeauna soluția: Verificarea soluției vă poate ajuta să identificați erorile și să vă asigurați că răspunsul este corect.
• Exersați: Cu cât exersați mai mult, cu atât veți deveni mai buni la rezolvarea inecuațiilor.
• Înțelegeți conceptele de bază: Asigurați-vă că înțelegeți bine concepte precum inecuațiile, valorile absolute și intervalele. Acest lucru vă va ajuta să abordați problemele cu mai multă încredere.

Acum, vă încurajez să continuați să exersați și să explorați mai multe probleme de matematică. Cu perseverență și practică, veți reuși să stăpâniți arta rezolvării inecuațiilor și să vă bucurați de satisfacția de a rezolva probleme matematice complexe! Succes!