Cari Matriks C: Persamaan AC = B Terpecahkan!

by TextBrain Team 46 views

Hey guys! Pernah nggak sih kalian ketemu soal matematika yang bikin pusing tujuh keliling? Terutama kalau udah berurusan sama matriks, wah bisa auto-garuk-garuk kepala nih. Tapi tenang, kali ini kita bakal kupas tuntas soal gimana caranya nemuin matriks C yang memenuhi persamaan AC = B, dengan contoh matriks yang udah dikasih. Siap-siap ya, ini bakal jadi adventure seru di dunia perkalian dan invers matriks!

Jadi gini, kita punya dua matriks keren, sebut saja si A dan si B. Matriks A itu [12 34]\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} dan matriks B itu [43 21]\begin{bmatrix} 4 & 3 \ 2 & 1 \end{bmatrix}. Nah, tugas kita adalah nyari matriks C yang kalau dikalikan sama matriks A, hasilnya jadi matriks B. Persamaannya ditulis gini: AC = B. Kelihatannya simpel, tapi butuh sedikit trik nih buat nyelesaiinnya. Gimana caranya? Kita perlu sedikit utak-atik persamaan ini biar C sendirian di satu sisi. Kalau kita mau ngisolasi C, kita bisa coba mengalikan kedua sisi persamaan dengan invers dari matriks A. Ingat, kalau di aljabar biasa kan kalau ada ax = b, terus kita mau cari x, kita tinggal bagi b dengan a, atau x = b/a. Nah, di matriks nggak bisa langsung dibagi gitu aja, guys. Kita pakainya invers. Jadi, kalau kita punya AC = B, terus kita kalikan kedua sisinya dari kiri dengan invers A (kita simbolin A⁻¹), jadinya gini: A⁻¹(AC) = A⁻¹B. Karena perkalian matriks itu asosiatif, kita bisa ubah jadi (A⁻¹A)C = A⁻¹B. Nah, A⁻¹A itu hasilnya matriks identitas (I), yang kalau dikalikan sama matriks lain hasilnya nggak berubah. Jadi, persamaan kita jadi IC = A⁻¹B. Dan karena IC = C, maka kita dapat deh C = A⁻¹B. Bingo! Jadi, PR kita sekarang adalah nyari inversnya matriks A, terus dikalikan deh sama matriks B. Gampang kan? Yuk, kita lanjutin ke langkah selanjutnya buat ngitung si A⁻¹.

Mencari Invers Matriks A: Kunci Utama Penyelesaian

Nah, langkah krusial pertama buat nemuin matriks C adalah dengan mencari invers dari matriks A. Ingat kan rumus invers matriks 2x2? Kalau kita punya matriks M=[ab cd]M = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}, maka inversnya, M−1M^{-1}, itu rumusnya adalah 1ad−bc[d−b −ca]\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix}. Bagian 1ad−bc\frac{1}{ad-bc} ini namanya determinan. Penting banget nih, soalnya kalau determinannya nol, berarti matriks itu nggak punya invers, alias singular. Tapi tenang, buat matriks A kita ini, determinannya pasti nggak nol kok, jadi aman.

Sekarang, mari kita terapkan rumus itu ke matriks A kita, yaitu A=[12 34]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}. Di sini, a=1a=1, b=2b=2, c=3c=3, dan d=4d=4. Pertama, kita hitung dulu determinannya: ad−bc=(1×4)−(2×3)=4−6=−2ad-bc = (1 \times 4) - (2 \times 3) = 4 - 6 = -2. Nah, determinannya adalah -2. Karena nggak nol, berarti matriks A punya invers. Sekarang kita masukin ke rumus inversnya:

A−1=1−2[4−2 −31]A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 \end{bmatrix}

Selanjutnya, kita kalikan 1−2\frac{1}{-2} ke setiap elemen di dalam matriks. Jadinya:

A−1=[4−2−2−2 −3−21−2]=[−21 32−12]A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{4}{-2} & \frac{-2}{-2} \ \frac{-3}{-2} & \frac{1}{-2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}

Jadi, matriks invers dari A adalah A−1=[−21 32−12]A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}. Keren kan? Kita udah berhasil nemuin salah satu 'senjata' utama buat ngalahin soal ini. Dengan matriks invers A ini, kita udah selangkah lebih dekat buat nemuin matriks C yang kita cari. Ingat ya, guys, kunci dari banyak soal matriks itu seringkali ada di pemahaman tentang invers dan determinan. Kalau udah nguasain dua konsep ini, dijamin banyak soal yang tadinya kelihatan susah jadi berasa lebih manageable. Makanya, jangan pernah males buat ngulang-ngulang materi invers dan determinan, biar makin nempel di otak dan makin pede pas ngerjain soal ujian. Apalagi kalau mau lanjut ke jenjang yang lebih tinggi, pemahaman soal matriks ini bakal kepake banget, lho!

Mengalikan Matriks Invers dengan Matriks B: Langkah Terakhir Menuju Jawaban

Oke, guys, kita udah punya matriks invers A (A−1A^{-1}) dan matriks B. Sekarang saatnya kita gabungin dua matriks ini buat nemuin matriks C. Ingat persamaan kita tadi? C = A⁻¹B. Jadi, kita tinggal mengalikan matriks A−1=[−21 32−12]A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} dengan matriks B=[43 21]B = \begin{bmatrix} 4 & 3 \ 2 & 1 \end{bmatrix}.

Perkalian matriks itu ada aturannya, guys. Baris dikali kolom. Biar nggak bingung, mari kita hitung satu per satu elemen matriks C.

Untuk elemen pertama matriks C (baris 1, kolom 1), kita ambil baris pertama dari A−1A^{-1} dikali kolom pertama dari B:

C11=(−2imes4)+(1imes2)=−8+2=−6C_{11} = (-2 imes 4) + (1 imes 2) = -8 + 2 = -6

Untuk elemen kedua matriks C (baris 1, kolom 2), kita ambil baris pertama dari A−1A^{-1} dikali kolom kedua dari B:

C12=(−2imes3)+(1imes1)=−6+1=−5C_{12} = (-2 imes 3) + (1 imes 1) = -6 + 1 = -5

Selanjutnya, buat elemen di baris kedua, kolom pertama matriks C, kita ambil baris kedua dari A−1A^{-1} dikali kolom pertama dari B:

C21=(32imes4)+(−12imes2)=6+(−1)=5C_{21} = (\frac{3}{2} imes 4) + (-\frac{1}{2} imes 2) = 6 + (-1) = 5

Dan terakhir, buat elemen di baris kedua, kolom kedua matriks C, kita ambil baris kedua dari A−1A^{-1} dikali kolom kedua dari B:

C22=(32imes3)+(−12imes1)=92−12=82=4C_{22} = (\frac{3}{2} imes 3) + (-\frac{1}{2} imes 1) = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4

Nah, kalau digabungin semua elemen yang udah kita hitung tadi, maka matriks C adalah:

C=[−6−5 54]C = \begin{bmatrix} -6 & -5 \ 5 & 4 \end{bmatrix}

Jadi, jawaban yang paling tepat adalah [−6−5 54]\begin{bmatrix} -6 & -5 \ 5 & 4 \end{bmatrix}. Gimana, guys? Ternyata nggak sesulit yang dibayangkan kan? Kuncinya adalah pahami konsep invers matriks dan cara perkalian matriks. Kalau dua hal ini udah dikuasai, soal-soal kayak gini bakal jadi gampang banget. Jangan lupa buat selalu latihan ya, biar makin jago dan nggak gampang nyerah sama soal matematika. Semangat terus belajarnya, kalian pasti bisa!

Memverifikasi Jawaban: Pastikan AC = B Benar-Benar Terjadi

Oke, guys, biar makin yakin kalau jawaban kita udah bener, ada baiknya kita verifikasi jawaban kita. Kan tadi kita udah nemuin nih kalau matriks C=[−6−5 54]C = \begin{bmatrix} -6 & -5 \ 5 & 4 \end{bmatrix}. Nah, sekarang kita coba kalikan matriks A dengan matriks C yang baru kita temuin ini, dan kita lihat apakah hasilnya beneran sama dengan matriks B. Kalau hasilnya sama, berarti perjuangan kita nyari invers dan ngaliin matriks tadi nggak sia-sia, guys!

Masih inget kan perkalian matriks? Baris kali kolom. Mari kita mulai:

Untuk elemen pertama matriks hasil perkalian (baris 1, kolom 1), kita ambil baris pertama dari A dikali kolom pertama dari C:

(1imes−6)+(2imes5)=−6+10=4(1 imes -6) + (2 imes 5) = -6 + 10 = 4

Untuk elemen kedua (baris 1, kolom 2), kita ambil baris pertama dari A dikali kolom kedua dari C:

(1imes−5)+(2imes4)=−5+8=3(1 imes -5) + (2 imes 4) = -5 + 8 = 3

Lanjut ke baris kedua. Untuk elemen (baris 2, kolom 1), kita ambil baris kedua dari A dikali kolom pertama dari C:

(3imes−6)+(4imes5)=−18+20=2(3 imes -6) + (4 imes 5) = -18 + 20 = 2

Dan terakhir, elemen (baris 2, kolom 2), kita ambil baris kedua dari A dikali kolom kedua dari C:

(3imes−5)+(4imes4)=−15+16=1(3 imes -5) + (4 imes 4) = -15 + 16 = 1

Jadi, hasil dari AC adalah:

AC=[43 21]AC = \begin{bmatrix} 4 & 3 \ 2 & 1 \end{bmatrix}

Dan lihat! Hasilnya persis sama dengan matriks B yang diberikan di soal. Ini artinya, matriks C yang kita temukan tadi, yaitu [−6−5 54]\begin{bmatrix} -6 & -5 \ 5 & 4 \end{bmatrix}, adalah jawaban yang benar. Success! Verifikasi ini penting banget biar kita nggak salah kasih jawaban, apalagi kalau ini soal ujian. Jadi, jangan pernah skip langkah verifikasi ya, guys. Ini kayak double check buat mastiin semuanya udah on the right track. Dengan begitu, kita bisa lebih pede sama jawaban kita dan nggak perlu khawatir salah hitung. Tetap semangat buat ngulik soal-soal matematika lainnya!