48 Cm Ve 60 Cm'lik Tahta Kesimi Problemi Çözümü

by TextBrain Team 48 views

Heyecanlı matematik severler, bu makalede, 48 cm ve 60 cm uzunluğundaki iki tahtayı eşit ve en büyük uzunlukta parçalara ayırma problemini ele alacağız. Bu tür problemler genellikle en büyük ortak bölen (EBOB) kavramını içerir ve günlük hayatta karşımıza çıkabilecek pratik uygulamaları vardır. Gelin, bu problemi adım adım çözelim ve kesim işleminin toplam süresini hesaplayalım!

Problemi Anlama ve Çözüm Stratejisi

Öncelikle, soruyu dikkatlice okuyarak neyin istendiğini anlamak çok önemlidir. Bizden istenen, iki farklı uzunluktaki tahtayı eşit uzunlukta parçalara ayırmak ve bu parçaların uzunluğunun mümkün olan en büyük değerde olmasıdır. Bu, aslında 48 ve 60 sayılarının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulmamız gerektiği anlamına gelir. EBOB'u bulduktan sonra, her bir tahtadan kaç parça elde edeceğimizi ve toplam kesim sayısını belirleyeceğiz. Son olarak, küçük parçanın kesim süresini kullanarak toplam kesim süresini hesaplayacağız.

EBOB'u Bulma:

48 ve 60'ın EBOB'unu bulmak için farklı yöntemler kullanabiliriz. Bunlardan en yaygın olanları asal çarpanlara ayırma ve Öklid algoritmasıdır. Biz burada asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanacağız:

  • 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 2⁴ x 3
  • 60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5

EBOB(48, 60) = 2² x 3 = 12 cm

Bu, her bir parçanın uzunluğunun 12 cm olacağı anlamına gelir. Harika! Şimdi kaç parça elde edeceğimizi bulalım.

Parça Sayısını Hesaplama:

  • 48 cm'lik tahtadan: 48 / 12 = 4 parça
  • 60 cm'lik tahtadan: 60 / 12 = 5 parça

Toplamda 4 + 5 = 9 parça elde edeceğiz. Müthiş! Şimdi kesim sayısını bulmamız gerekiyor.

Kesim Sayısını Belirleme:

Bir tahtayı n parçaya ayırmak için n - 1 kesim yapmamız gerekir. Bu durumda:

  • 48 cm'lik tahta için: 4 - 1 = 3 kesim
  • 60 cm'lik tahta için: 5 - 1 = 4 kesim

Toplamda 3 + 4 = 7 kesim yapacağız. Çok iyi! Son adım olarak, toplam kesim süresini hesaplayalım.

Toplam Kesim Süresini Hesaplama:

Soruda, küçük parçanın kesim süresinin 15 saniye olduğu belirtilmiş. Ancak, tüm kesimlerin aynı sürede yapıldığını varsayıyoruz. Bu nedenle, toplam kesim süresi:

7 kesim x 15 saniye/kesim = 105 saniye

Sonuç olarak, tüm kesim işi toplamda 105 saniye sürecektir.

Adım Adım Çözüm Özeti

  1. EBOB'u Bul: 48 ve 60'ın EBOB'u 12 cm'dir.
  2. Parça Sayısını Hesapla: 48 cm'lik tahtadan 4 parça, 60 cm'lik tahtadan 5 parça elde edilir (toplam 9 parça).
  3. Kesim Sayısını Belirle: 48 cm'lik tahta için 3 kesim, 60 cm'lik tahta için 4 kesim yapılır (toplam 7 kesim).
  4. Toplam Kesim Süresini Hesapla: 7 kesim x 15 saniye/kesim = 105 saniye.

EBOB'un Önemi ve Uygulama Alanları

Bu problemi çözerken kullandığımız En Büyük Ortak Bölen (EBOB) kavramı, matematik ve gerçek hayat uygulamalarında önemli bir yere sahiptir. EBOB, iki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğünü ifade eder. Bu kavram, özellikle bölme, parçalama, gruplandırma ve sıralama gibi işlemlerde karşımıza çıkar. EBOB'un pratik uygulamalarından bazıları şunlardır:

  • Fayans Döşeme: Bir zemini kare fayanslarla kaplamak istediğimizde, kullanacağımız fayansın boyutunu belirlemek için EBOB'dan yararlanabiliriz. Zeminin eni ve boyunun EBOB'u, kullanabileceğimiz en büyük kare fayansın kenar uzunluğunu verir.
  • Kumaş Parçalama: Farklı uzunluktaki kumaşları eşit uzunlukta parçalara ayırmak istediğimizde EBOB'u kullanabiliriz. Örneğin, 120 cm ve 180 cm uzunluğundaki iki kumaşı eşit parçalara ayırmak için bu sayıların EBOB'unu buluruz. EBOB(120, 180) = 60 cm olduğundan, kumaşları 60 cm'lik parçalara ayırabiliriz.
  • İlaç Paketleme: Farklı miktarlardaki ilaçları eşit sayıda tablet içeren paketlere yerleştirmek istediğimizde EBOB'dan yararlanabiliriz. Örneğin, 90 tane A ilacı ve 120 tane B ilacını eşit sayıda tablet içeren paketlere yerleştirmek için bu sayıların EBOB'unu buluruz. EBOB(90, 120) = 30 olduğundan, her pakette 30 tablet olacak şekilde paketleme yapabiliriz.
  • Bahçe Düzenlemesi: Bir bahçeye eşit aralıklarla ağaç dikmek istediğimizde EBOB'u kullanabiliriz. Bahçenin uzunluğu ve genişliğinin EBOB'u, ağaçlar arasındaki mesafeyi belirlememize yardımcı olur.
  • Zamanlama Problemleri: Farklı zaman aralıklarında tekrar eden olayların aynı anda gerçekleşme zamanını bulmak için EBOB'dan yararlanabiliriz. Örneğin, iki farklı otobüs hattının sefer saatleri arasındaki ortak zamanları bulmak için EBOB kullanılabilir.

EBOB'un bu ve benzeri birçok uygulama alanı, matematiğin günlük hayatımızdaki önemini bir kez daha göstermektedir. Bu nedenle, EBOB kavramını iyi anlamak ve kullanabilmek, problem çözme becerilerimizi geliştirmemize ve karşılaştığımız zorlukların üstesinden gelmemize yardımcı olur.

Farklı Problem Çözme Yöntemleri

Bu problemi çözerken asal çarpanlara ayırma yöntemini kullandık, ancak farklı yöntemler de mevcuttur. Örneğin, Öklid algoritması da EBOB'u bulmak için etkili bir yöntemdir. Ayrıca, bazı durumlarda deneme yanılma yoluyla da sonuca ulaşılabilir. Önemli olan, probleme uygun olan en etkili yöntemi seçebilmektir.

Öklid Algoritması:

Öklid algoritması, iki sayının EBOB'unu bulmak için kullanılan bir diğer yöntemdir. Bu algoritma, ardışık bölme işlemleriyle sonuca ulaşır. Algoritmanın adımları şöyledir:

  1. Büyük sayıyı küçük sayıya bölün.
  2. Kalanı not edin.
  3. Küçük sayıyı kalana bölün.
  4. Kalan sıfır olana kadar bu işleme devam edin.
  5. Son sıfır olmayan kalan, EBOB'dur.

Örneğin, 48 ve 60'ın EBOB'unu Öklid algoritmasıyla bulalım:

  1. 60 / 48 = 1 (kalan 12)
  2. 48 / 12 = 4 (kalan 0)

Son sıfır olmayan kalan 12 olduğundan, EBOB(48, 60) = 12'dir.

Deneme Yanılma Yöntemi:

Bazı durumlarda, sayıların küçük olması veya belirli bir örüntüye sahip olması durumunda deneme yanılma yöntemiyle de EBOB bulunabilir. Bu yöntemde, sayıların ortak bölenlerini deneyerek en büyük olanı bulmaya çalışırız. Ancak, bu yöntem her zaman etkili olmayabilir ve daha büyük sayılar için zaman alıcı olabilir.

Sonuç

Bu makalede, 48 cm ve 60 cm uzunluğundaki iki tahtayı eşit ve en büyük uzunlukta parçalara ayırma problemini çözdük. Problemi çözerken EBOB kavramının önemini ve farklı çözüm yöntemlerini tartıştık. Umarım bu makale, matematiksel problem çözme becerilerinizi geliştirmenize ve EBOB kavramını daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Matematikle kalın!